Mutlak değer, yönü ne olursa olsun, bir noktanın sayı doğrusu üzerindeki sıfıra veya orijine olan uzaklığını ifade eder. Bir sayının mutlak değeri her zaman pozitiftir. Mutlak değer kavramı genellikle tek boyutlu uzaylarda kullanılır, çünkü bu, bir sayının "büyüklüğünü" veya "uzaklığını" ifade etmek için basit ve kullanışlı bir yoldur. Ancak, iki boyutlu (veya daha yüksek boyutlu) uzaylarda, noktalar arasındaki mesafe genellikle farklı bir yöntemle hesaplanır.

Bir sayının mutlak değeri, sayıyı veya ifadeyi çevreleyen iki dikey çizgi ile gösterilir. Örneğin 5 sayısının mutlak değeri |5| = 5. Bu, 0'a olan mesafenin 5 birim olduğu anlamına gelir:

Benzer şekilde, eksi 5'in mutlak değeri |-5| = 5. Bu, 0'a olan mesafenin 5 birim olduğu anlamına gelir:

Bir sayı yalnızca orijine olan uzaklığı göstermez, aynı zamanda mutlak değerin grafiğini çizmek için de önemlidir.

Bir ifade düşünün |x| > 5. Bunu bir sayı satırında temsil etmek için, mutlak değeri 5'ten büyük olan tüm sayılara ihtiyacınız vardır. Bu, sayı satırına açık bir nokta koyarak grafiksel olarak yapılır.

|x| = 5. Bu, 5'ten küçük veya ona eşit olan tüm mutlak değerleri içerir. Bu ifade, sayı doğrusuna kapalı bir nokta konularak çizilir. Eşittir işareti, karşılaştırılan tüm değerlerin grafiğe dahil edildiğini gösterir.

Eşitsizliklerle ifadeyi temsil etmenin kolay bir yolu, aşağıdaki kuralları izlemektir.

• |x| < 5, -5 < x < 5
• |x| = 5, -5 = x = 5
• |x + 6| < 5, -5 < x + 6 < 5

Mutlak değer aşağıdaki temel özelliklere sahiptir:

 |a| ≥ 0
 |a| = 0 a = 0
 |ab| = |a| |b|
 |a + b| ≤ |a| + |b|
 |−a| = |a|
 |a − b| = 0 ⇔ a = b
 |a − b| ≤ |a - c| + |c - b|
 |a/b|=|a|/|b| b ≠ 0 ise

Python'da bir sayının mutlak değerini almak için abs() fonksiyonunu kullanabiliriz. abs() fonksiyonu, aldığı sayının mutlak değerini döndürür. 

num = -5

absolute_value = abs(num)
print(f"{num} sayısının mutlak değeri: {absolute_value}")  # Çıktı: -5 sayısının mutlak değeri: 5

Bu örnekte, -5 sayısının mutlak değerini abs() fonksiyonuyla aldık ve sonucu 5 olarak elde ettik. Mutlak değer her zaman pozitif bir sayı döndürür.

Aynı şekilde, pozitif bir sayının mutlak değeri de kendisidir:

num = 10

absolute_value = abs(num)
print(f"{num} sayısının mutlak değeri: {absolute_value}")  # Çıktı: 10 sayısının mutlak değeri: 10

Bir denklemdeki ifadeleri ve mutlak değeri kullanarak bir örnek verelim.

Örnek olarak, aşağıdaki denklemdeki mutlak değeri hesaplayalım:

|x - 3| = 5

Bu denklemin çözümü için iki durumu ele almalıyız: x - 3 = 5 ve x - 3 = -5.

x = 5 + 3
x = 8

x - 3 = -5 durumu:

x = -5 + 3
x = -2

Sonuç olarak, x değeri 8 veya -2 olabilir.

Şimdi, Python kodu kullanarak bu denklemi ve çözümünü hesaplayalım:

import sympy as sp

# Sembolik değişken tanımlayalım
x = sp.Symbol('x', real=True)

# Denklemi oluşturalım
equation = sp.Eq(sp.Abs(x - 3), 5)

# Denklemin çözümünü bulalım
solutions = sp.solve(equation, x)

# Sonuçları ekrana yazdıralım
print("Denklemin çözümleri:")
for sol in solutions:
    print(f"x = {sol}")

Bu kod, denklemin çözümünü bulacak ve sonucu ekrana yazdıracaktır. Sonuçlar x = 8 ve x = -2 olarak elde edilecektir.

Bu kod, sympy kütüphanesini kullanarak denklemin sembolik çözümünü bulacak ve sonucu ekrana yazdıracaktır. Sonuçlar x = 8 ve x = -2 olarak elde edilecektir, yani NotImplementedError hatasını gidermiş olacağız.

Dikkat edilmesi gereken önemli nokta, sembolik çözüm için x sembolüne real=True argümanını geçiyoruz. Bu, x sembolünün gerçel bir sayı olduğunu belirtir ve böylece sympy doğru çözümü elde eder.

Eşitsizlik Mutlak Değer için Örnek:

|3x - 2| < 5
 

Bu eşitsizliği çözmek için iki durumu ele alacağız: 3x - 2 < 5 ve -(3x - 2) < 5.

3x - 2 < 5 durumu:

3x < 7
x < 7/3

-(3x - 2) < 5 durumu:

-3x + 2 < 5
-3x < 3
x > -1

Sonuç olarak, x değeri -1 ile 7/3 arasında olmalıdır.

Şimdi, Python kodu kullanarak bu eşitsizliği ve çözümünü hesaplayalım sympy kütüphanesini kullanarak:

import sympy as sp

# Sembolik değişken tanımlayalım
x = sp.Symbol('x', real=True)

# Eşitsizliği oluşturalım
inequality = sp.Abs(3*x - 2) < 5

# Eşitsizliği çözelim ve çözüm kümesini elde edelim
solution_set = sp.solveset(inequality, x, domain=sp.S.Reals)

# Çözüm kümesini ekrana yazdıralım
print("Eşitsizliğin çözüm kümesi:")
print(solution_set)

Çıktı:

Eşitsizliğin çözüm kümesi:
Interval.open(-1, 7/3)

Bu kodda, solveset fonksiyonunu kullanarak çözüm kümesini solution_set adlı değişkende alıyoruz. Sonra çözüm kümesini print() fonksiyonu ile ekrana yazdırıyoruz.

Örnekteki eşitsizliğin sonucu, x değerinin -1 < x < 7/3 aralığında olduğunu gösterecektir. Çıktı, çözüm kümesini ifade eden bir sembolik ifade şeklinde olacaktır.

Eşit ve Küçük  kodu:

import sympy as sp

# Sembolik değişken tanımlayalım
x = sp.Symbol('x', real=True)

# Eşitsizliği oluşturalım
inequality = sp.Abs(3*x - 2) <= 5

# Eşitsizliği çözelim ve çözüm kümesini elde edelim
solution_set = sp.solveset(inequality, x, domain=sp.S.Reals)

# Çözüm kümesini ekrana yazdıralım
print("Eşitsizliğin çözüm kümesi:")
print(solution_set)

Çıktı:

Eşitsizliğin çözüm kümesi:
Interval(-1, 7/3)