Eş düzlemli çizgiler, aynı düzlem üzerinde yer alan çizgilerdir. Yani, bu çizgileri içeren herhangi bir düzlem, aynı zamanda diğer tüm çizgileri de içerir. 

Örneğin, düz bir kağıt düşünün. Kağıdın üzerine çizilen herhangi iki çizgi, kağıdın oluşturduğu düzlem üzerinde olacaktır. Bu nedenle, bu çizgiler eş düzlemli çizgilerdir.

Eş düzlemli çizgilerin birkaç önemli özelliği vardır. İlk olarak, eş düzlemli çizgiler birbirlerine paralel olabilirler, birbirlerini kesebilirler veya birbirlerinden ayrı olabilirler, ama yine de aynı düzlem üzerinde olacaklardır. İkinci olarak, eş düzlemli çizgilerin oluşturduğu açılar (örneğin, birbirlerini kesen çizgiler arasındaki açı) aynı düzlemde ölçülür.

Eş düzlemli çizgiler, bir düzlemi, bir düzlemdeki çizgilerin özelliklerini veya düzlem geometrisini anlamak için sıklıkla kullanılır. Aynı düzlem üzerindeki çizgilerin özelliklerini anlamak, daha karmaşık geometri ve matematik problemlerini çözmenin önemli bir parçasıdır.

Matematiksel olarak, eş düzlemli çizgiler kavramını anlamak için öncelikle düzlem ve çizgilerin denklemlerini anlamak gerekmektedir. Bir düzlemi matematiksel olarak ifade etmek için genellikle bir nokta ve bir normal vektör (düzleme dik olan bir vektör) kullanılır.

Bir düzlemin genel denklemi şu şekildedir:

ax + by + cz = d

Bu denklemde, (a, b, c) düzlemin normal vektörünü ifade eder. x, y ve z, düzleme ait bir noktanın koordinatlarıdır ve d bir sabittir.

Bir çizginin parametrik denklemi ise şu şekildedir:

r = a + tb

Bu denklemde, a çizginin bir noktasını, b çizginin yön vektörünü (çizgi boyunca yönlendirilmiş bir vektör) ve t bir parametreyi ifade eder. Parametrik denklem, t'nin herhangi bir değeri için çizgi boyunca bir noktayı ifade eder.

Eş düzlemli çizgiler, aynı düzlem üzerinde yer aldıkları için, bu düzlemin denklemine uyacaklardır. Yani, eş düzlemli çizgilerin her bir noktası, düzlem denklemini sağlar.

Örneğin, eğer iki çizginin denklemleri:

r1 = a + tb r2 = c + sd

ve bir düzlemin denklemi:

ax + by + cz = d

eğer r1 ve r2'nin her noktası, düzlem denklemini sağlıyorsa, o zaman r1 ve r2 eş düzlemli çizgilerdir.

Bu, genellikle çizgilerin noktalarını düzlem denkleminde yerine koyarak ve denklemin doğru olduğunu kontrol ederek matematiksel olarak kontrol edilir. Eğer denklemler doğruysa, çizgiler aynı düzlem üzerindedir ve dolayısıyla eş düzlemli çizgilerdir.

Python Örneği:

import numpy as np
from sympy import symbols, Eq, simplify

# x, y, ve z sembollerini oluşturuyoruz
x, y, z = symbols('x y z')

# Düzlem denklemi: x + y + z = 3
plane_equation = Eq(x + y + z, 3)

# İki çizginin denklemleri: r = a + t*b
line1_parametric = np.array([1, 1, 1]) + symbols('t1')*np.array([1, 0, 0])
line2_parametric = np.array([1, 1, 1]) + symbols('t2')*np.array([0, 1, 0])

# Çizgilerin bir noktasını düzlem denkleminde yerine koyuyoruz
check_line1 = plane_equation.subs({x: line1_parametric[0], y: line1_parametric[1], z: line1_parametric[2]})
check_line2 = plane_equation.subs({x: line2_parametric[0], y: line2_parametric[1], z: line2_parametric[2]})

# Eşitliklerin doğru olduğunu kontrol ediyoruz
print(simplify(check_line1))  # 0 olmalıdır, çünkü çizgi düzlem üzerindedir
print(simplify(check_line2))  # 0 olmalıdır, çünkü çizgi düzlem üzerindedir