Nonlinear regresyon, bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi doğrusal bir denklemle ifade edemeyen durumlar için kullanılan bir regresyon analiz yöntemidir. Doğrusal regresyon, bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi birinci dereceden bir polinom veya doğrusal bir denklemle ifade ederken, nonlinear regresyon, bu ilişkiyi doğrusal olmayan bir fonksiyonla modellemek için kullanılır. Bu, daha karmaşık, eğri veya eğrilerle ifade edilen ilişkileri ele almak için gereklidir.

Nonlinear regresyonun temel özellikleri şunlardır:

Nonlinear İlişkileri İfade Eder: Nonlinear regresyon, bağımsız değişkenlerle bağımlı değişken arasındaki ilişkiyi doğrusal olmayan bir fonksiyonla ifade edebilir. Bu, gerçek dünya verilerinin doğrusal olmayan karmaşıklıklarını ele almak için kullanışlıdır.

Bağımlı Değişkenin Modellemesi: Nonlinear regresyon, bağımlı değişkenin tahmin edilmesi gereken durumlar için kullanılır. Örneğin, bir ilacın dozajının etkisi veya bir kimyasal reaksiyonun hızı gibi durumlar için nonlinear regresyon kullanılabilir.

Parametre Tahmini: Nonlinear regresyon, modelde kullanılan nonlineer fonksiyonun parametrelerini tahmin eder. Bu parametreler, modelin verilere ne kadar iyi uyarlandığını belirler.

İtersiyon Yöntemleri: Nonlinear regresyon modelleri, çoğunlukla en küçük kareler yöntemi gibi iterasyon yöntemleri kullanılarak tahmin edilir. Bu, başlangıç parametre değerlerinden başlayarak, modelin verilere uygun parametre değerlerini bulmak için tekrar tekrar hesaplamalar yapmayı içerir.

Nonlinear regresyon, pek çok farklı fonksiyonel formu destekler. Örneğin, üstel, logaritmik, polinomiyal, sigmoid ve benzeri fonksiyonlar nonlineer regresyon modellerinde kullanılabilir. Model seçimi ve parametre tahminleri, verilere ve probleme özgüdür.

Nonlinear regresyon, doğrusal regresyonun yetmediği durumlarda kullanılır. Gerçek dünya verileri genellikle doğrusal olmayan ilişkilere sahiptir ve bu nedenle nonlineer regresyon, daha doğru tahminler elde etmek için önemli bir analiz aracıdır.

Bir nonlineer regresyon örneği ile açıklayalım. Diyelim ki bir şirket, bir yeni ürünün pazarlama kampanyası için reklam harcaması ile satışlar arasındaki ilişkiyi anlamak istiyor. Reklam harcaması ve satışlar arasındaki ilişki, doğrusal bir denklemle ifade edilemeyecek kadar karmaşıktır, bu nedenle nonlineer regresyon kullanmak gereklidir.

Python'da scipy.optimize.curve_fit işlevini kullanarak nonlineer regresyon yapabiliriz. İşte bir örnek:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# Örnek verileri oluşturalım
advertising_costs = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
sales = np.array([50, 60, 55, 80, 110, 140, 160, 170, 180, 190])

# İşlevimizi tanımlayalım (Burada sigmoid bir fonksiyon kullanalım)
def sigmoid_function(x, a, b, c):
    return a / (1 + np.exp(-b * (x - c)))

# İlk değer tahminleri
initial_guess = [max(sales), 1, np.mean(advertising_costs)]

# Nonlinear regresyon ile parametreleri tahmin edelim ve uyarıları devre dışı bırakalım
params, _ = curve_fit(sigmoid_function, advertising_costs, sales, p0=initial_guess)

# Elde edilen parametreleri yazdıralım
a, b, c = params
print(f"Optimized Parameters: a={a}, b={b}, c={c}")

# Tahminlerimizi yapalım
x_values = np.linspace(0, 15, 100)
y_values = sigmoid_function(x_values, a, b, c)

# Verileri ve tahminleri görselleştirelim
plt.scatter(advertising_costs, sales, label="Veriler")
plt.plot(x_values, y_values, 'r', label="Tahminler")
plt.xlabel("Reklam Harcaması")
plt.ylabel("Satışlar")
plt.legend()
plt.show()

Optimized Parameters: a=217.76502827674562, b=0.4003472474619223, c=4.883028263380081

Bu örnekte, reklam harcaması ile satışlar arasındaki ilişkiyi ifade etmek için sigmoid bir fonksiyon kullanılmıştır. curve_fit işlevi, bu sigmoid fonksiyonun parametrelerini verilere uygun hale getirir. Sonuç olarak, optimal parametreler ve bu parametrelerle yapılan tahminler grafikte gösterilir.

Bu örnek, reklam harcaması ile satışlar arasındaki karmaşık, doğrusal olmayan ilişkiyi modellemek için nonlineer regresyonun nasıl kullanılabileceğini göstermektedir.

Optimize edici parametreler, curve_fit işlevi ile kullanıldığında nonlineer regresyon analizindeki modelin parametrelerini tahmin etmek için kullanılan başlangıç değerlerdir. Bu başlangıç değerleri, optimize ediciye, tahmin edilecek parametrelerin daha iyi bir şekilde tahmin edilmesine yardımcı olması için başlangıç bir fikir sunar. İşte bu optimize edici parametrelerin ne işe yaradığını ve nasıl kullanıldığını açıklayan bazı detaylar:

a (Bağımsız Değişkenin Genel Değeri): Bu parametre, sigmoid fonksiyonunun en yüksek değerini (zirve) temsil eder. Yani, verilerin ne kadar yukarı veya aşağı yönlü kayabileceğini gösterir. Başlangıç tahmini olarak genellikle bağımlı değişkenin maksimum değeri kullanılır.

b (Eğim): Bu parametre sigmoid eğrisinin ne kadar hızlı arttığını veya azaldığını kontrol eder. Büyük bir b değirgi eğriyi daha hızlı arttırırken küçük bir b değeri daha yavaş bir artışa neden olur. Başlangıç tahmini olarak 1 kullanmak sıkça tercih edilir.

c (Eğrinin Ortalama Değeri): Bu parametre sigmoid eğrisinin hangi noktada dönüş yapacağını belirler. Eğri, bu noktanın yakınında hızla artar veya azalır. Başlangıç tahmini olarak bağımsız değişkenin ortalaması kullanılır.

Başlangıç tahminleri, optimize ediciye, tahmin edilecek parametrelerin uygun değerlerini daha hızlı ve hassas bir şekilde bulmada yardımcı olur. İyi başlangıç tahminleri, optimize ediciyi daha az iterasyonla optimal parametre değerlerini bulmaya yönlendirir ve sonuç olarak daha hızlı bir tahmin süreci sağlar.

Ancak unutmayın ki başlangıç tahminleri, sonuçlar üzerinde etkili olabilir. Dolayısıyla, verilerin ve modelin doğasını dikkate alarak uygun başlangıç tahminlerini seçmek önemlidir. Ayrıca, farklı başlangıç tahminlerini deneyerek farklı sonuçları inceleyebilir ve en iyi tahminlere ulaşabilirsiniz.

Sigmoid fonksiyonları, nonlineer regresyon analizlerinde yaygın olarak kullanılan bir tür matematiksel fonksiyondur. Sigmoid fonksiyonlarının kullanılmasının ana nedenleri şunlar olabilir:

Sınırlı ve Sıkışık Değer Aralığı: Sigmoid fonksiyonları, bağımsız değişkenin herhangi bir değerini alabileceği doğrusal regresyon analizlerine kıyasla daha sıkışık ve sınırlı bir değer aralığına sahiptir. Bu, veriye daha iyi uyan modeller oluşturmanıza yardımcı olabilir.

Doğrusal Olmayan İlişkileri İfade Etme: Sigmoid fonksiyonları, bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki doğrusal olmayan ilişkileri modellemek için kullanılır. Birçok gerçek dünya ilişkisi doğrusal değildir ve sigmoid fonksiyonları bu tür ilişkileri ifade etmek için uygundur.

Olumlu ve Negatif Eğim: Sigmoid fonksiyonları, bağımsız değişkenin artan veya azalan bir etkiye sahip olduğu iki farklı eğriye sahiptir. Bu, bir değişkenin bir noktadan sonra artış veya azalış gösterdiği durumları modellemek için kullanışlıdır.

Lojistik Regresyon: Sigmoid fonksiyonları, lojistik regresyon analizi gibi sınıflandırma problemlerinde yaygın olarak kullanılır. Bu tür analizlerde, bağımlı değişken iki kategoriye ayrılır ve bir olayın olasılığını tahmin etmek için sigmoid fonksiyonları kullanılır.

Görselleştirme Kolaylığı: Sigmoid fonksiyonları, veri analizi sonuçlarını görselleştirmek için uygun olan düzgün ve simetrik eğriler oluşturur. Bu tür eğriler, sonuçların açıklanmasını ve yorumlanmasını kolaylaştırır.

Özetle, sigmoid fonksiyonları, doğrusal olmayan ilişkileri modellemek, sınırlı ve sıkışık değer aralıkları kullanmak ve belirli uygulamalarda sınıflandırma problemlerini ele almak için kullanışlıdır. Bu nedenlerle nonlineer regresyon analizlerinde ve özellikle lojistik regresyon gibi uygulamalarda tercih edilen bir fonksiyon türüdür.