Matematikte küme kavramı, farklı nesnelerin (elemanlar) bir araya getirildiği bir yapıyı ifade eder. Temel küme kavramları şunları içerir:

1. Elemanlar:

Küme, belirli nesnelerden oluşur. Bu nesneler, sayılar, harfler, insanlar, diğer kümeler vb. olabilir. Bir elemanın bir kümede olup olmadığını belirtmek için "∈" sembolü kullanılır. Örneğin, eğer x küme A'da bir eleman ise, bu x∈A olarak yazılır.

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

2. Eşitlik:

İki kümenin eşit olması, aynı elemanlara sahip olmaları anlamına gelir. Yani eğer A ve B aynı elemanlara sahipse, bu A=B olarak yazılır.

A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3}
if A == B:
    print("A and B are equal")

3. Alt Küme:

Eğer küme A'nın bütün elemanları aynı zamanda küme B'nin de elemanı ise, A kümesi B'nin alt kümesidir, yani A⊆B.

A = {1, 2}
B = {1, 2, 3, 4}
if A.issubset(B):
    print("A is a subset of B")

4. Kesişim:

İki kümenin kesişimi, her iki kümede de bulunan elemanları içerir. A∩B sembolü ile gösterilir.

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
intersection = A.intersection(B)
print(intersection)  # {3}

5. Birleşim:

İki kümenin birleşimi, her iki kümenin elemanlarını içerir. A∪B sembolü ile gösterilir.

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
union = A.union(B)
print(union)  # {1, 2, 3, 4, 5}

6. Fark:

İki kümenin farkı, bir kümedeki elemanların diğer kümedeki elemanlarla çıkarılmasından oluşur. A−B veya A∖B sembolü ile gösterilir.

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
difference = A.difference(B)
print(difference)  # {1, 2}

7. Evrensel Küme:

Bazı durumlarda, tüm elemanların bir parçası olduğu bir evrensel küme kullanılır, genellikle U harfi ile gösterilir.

A = {1, 2, 3}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
complement = U.difference(A)
print(complement)  # {4, 5, 6}

8. Tamamlayıcı Küme:

Bir kümenin tamamlayıcısı, evrensel kümedeki o kümenin dışında kalan elemanları içerir. A′ veya A^c sembolü ile gösterilir.

A = {1, 2, 3}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
complement = U.difference(A)
print(complement)  # {4, 5, 6}

9. Güç Kümesi:

Bir kümenin güç kümesi, o kümenin tüm alt kümelerini içerir. P(A) veya 2^A ile gösterilir.

from itertools import chain, combinations

A = {1, 2, 3}
power_set = set(chain.from_iterable(combinations(A, r) for r in range(len(A)+1)))
print(power_set)  # {(), (1,), (2,), (3,), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3)}

10. Sayılabilir ve Sayılamaz Küme:

Sayılabilir kümeler, doğal sayılarla eşlenebilir. Sayılamaz kümeler, doğal sayılarla eşlenemez.

11. Boş Küme:

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve sembolü ∅ ile gösterilir.

empty_set = set()

Küme teorisi, matematiğin birçok dalında temel bir yapı taşıdır ve mantıksal düşünmeyi ve önermeleri ifade etmeyi mümkün kılar. İleri düzeyde, kümeler üzerinden farklı matematiksel yapılar oluşturulabilir, örneğin sayılar, fonksiyonlar, uzaylar vb.