Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafikleri, trigonometri ve matematiğin birçok dalında önemlidir. Bu grafikler, dalganın yükseklik, genişlik, yön ve şeklini anlamamıza yardımcı olur.

Sinüs Fonksiyonunun Grafiği

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y = sin(x), genellikle dalga şeklinde bir eğri olarak gösterilir:

Amplitüd: Fonksiyonun yüksekliği 1'dir, bu da grafiğin en yüksek noktasının 1 ve en düşük noktasının -1 olacağı anlamına gelir.

Periyod: Grafiğin bir döngüsü 2π boyunca tamamlanır, bu da grafiğin her 2π radyan sonra tekrar ettiği anlamına gelir.

Frekans: 1 periyot içindeki döngü sayısı 1'dir.

Faz Kayması: Bu durumda, faz kayması 0'dır.

Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği

Kosinüs fonksiyonunun grafiği, y = cos(x), sinüs fonksiyonuna benzer bir dalga şeklinde gösterilir:

Amplitüd: Fonksiyonun yüksekliği yine 1'dir.

Periyod: Kosinüs fonksiyonu da 2π radyan boyunca tamamlanır.

Frekans: 1 periyot içindeki döngü sayısı yine 1'dir.

Faz Kayması: Bu durumda, kosinüs fonksiyonun grafiği sinüs fonksiyonunun grafiğinden 2π radyan öne kaymıştır.

Herhangi bir gerçek sayının sinüsünü ve kosinüsünü hesaplayabildiğimiz için, bu fonksiyonların her ikisi de tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Sinüs ve kosinüs değerlerini birim çember üzerindeki noktaların koordinatları olarak düşünerek, her iki fonksiyonun aralığının [−1,1] aralığı olması gerektiği anlaşılır.

Her iki grafikte de grafiğin şekli 2π'den sonra tekrar eder, bu da fonksiyonların 2π periyodu ile periyodik olduğu anlamına gelir. Periyodik bir fonksiyon, belirli bir yatay kaydırmanın (P) orijinal fonksiyona eşit bir fonksiyonla sonuçlandığı bir fonksiyondur: f'nin tanım alanındaki x'in tüm değerleri için f(x+P)=f(x). Bu gerçekleştiğinde, P>0 ile bu tür en küçük yatay kaymayı fonksiyonun periyodu olarak adlandırırız. Şekil'de, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının birkaç periyodunu göstermektedir.

Sinüsoidal fonksiyonlar, belirli bir amplitüd ve frekansta dalga şeklinde hareket eden fonksiyonlardır. İki ana sinüsoidal fonksiyon olan sinüs ve kosinüs fonksiyonları, birçok farklı alanda kullanılır, özellikle fizik ve mühendislikte. İşte sinüsoidal fonksiyonların ana özellikleri ve bunları inceleme yolları:

Temel Sinüsoidal Fonksiyonlar

Sinüs Fonksiyonu: y=Asin(B(x−C))+D

Kosinüs Fonksiyonu: y=Acos(B(x−C))+D

Bu denklemlerde:

A: Amplitüd, yani dalganın yüksekliği.

B: Dönemle ilgili, B=P2π, burada P dönemdir.

Faz kayması, yani grafiğin yatayda ne kadar kaydığı.

Dikey kayma, yani grafiğin yukarı veya aşağı ne kadar kaydığı.

Sinüsoidal Fonksiyonları İnceleme

Sinüsoidal fonksiyonları incelemek, aşağıdaki özelliklere odaklanmayı içerir:

Amplitüd: Grafiğin en yüksek ve en düşük noktaları arasındaki yarı mesafe. Amplitüd değeri pozitif olmalıdır.

Periyod: Fonksiyonun tam bir döngüyü tamamladığı mesafe. Periyod, ∣P=∣B∣2π ile bulunur.

Faz Kayması: Grafiğin yatay eksende ne kadar kaydığı, C değeri tarafından kontrol edilir.

Dikey Kayma: Grafiğin yukarı veya aşağı ne kadar kaydığı, D değeri tarafından kontrol edilir.

Frekans: Frekans, belirli bir zaman aralığında kaç dönem olduğunu temsil eder. Frekans, f=P1 ile bulunur.

y=sinx ve y=cosx fonksiyonlarının varyasyonları, bu fonksiyonların özelliklerini değiştirir. İşte bu varyasyonların bir analizi:

1. Amplitüd Değişikliği

Genel Form: y=Asinx veya y=Acosx

Amplitüd: ∣A∣

Etki: Amplitüd, grafiğin yüksekliğini değiştirir. A değeri ne kadar büyükse, dalga o kadar yüksek olur.

2. Periyod Değişikliği

Genel Form: y=sinBx veya y=cosBx

Periyod: ∣P=∣B∣2π

Etki: Periyod, bir döngünün ne kadar uzun süreceğini değiştirir. B değeri ne kadar büyükse, dalgalar o kadar sık olur.

3. Faz Kayması

Genel Form: y=sin(x−C) veya y=cos(x−C)

Faz Kayması: C

Etki: Faz kayması, grafiğin yatay eksende ne kadar kaydığıdır. C değeri ne kadar büyükse, dalgalar o kadar sağa kayar.

4. Dikey Kayma

Genel Form: y=sinx+D veya y=cosx+D

Dikey Kayma: D

Etki: Dikey kayma, grafiğin yukarı veya aşağı ne kadar kaydığıdır. D değeri ne kadar büyükse, dalgalar o kadar yukarı kayar.

5. Yansıma

Eğer A<0 ise, fonksiyon y eksenine göre yansır.

Eğer B<0 ise, fonksiyon x eksenine göre yansır.

Örnekler

y=2sinx: Amplitüdü 2 olan sinüs fonksiyonu.

y=cos(2x): π periyodunda olan kosinüs fonksiyonu.

y=sin(x−2π): 2π radyan sağa kaymış sinüs fonksiyonu.

3y=cosx+3: 3 birim yukarı kaymış kosinüs fonksiyonu.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# X değerlerini oluştur
x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)

# Temel Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları
y_sin = np.sin(x)
y_cos = np.cos(x)

# Amplitüd Değişikliği
A = 2
y_sin_amplitude = A * np.sin(x)

# Periyod Değişikliği
B = 2
y_sin_period = np.sin(B * x)

# Faz Kayması
C = np.pi / 2
y_sin_phase_shift = np.sin(x - C)

# Dikey Kayma
D = 3
y_sin_vertical_shift = np.sin(x) + D

# Grafikleri çiz
plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.subplot(2, 3, 1)
plt.plot(x, y_sin, label="y = sin(x)")
plt.plot(x, y_cos, label="y = cos(x)")
plt.legend()

plt.subplot(2, 3, 2)
plt.plot(x, y_sin_amplitude, label=f"y = {A} * sin(x)")
plt.legend()

plt.subplot(2, 3, 3)
plt.plot(x, y_sin_period, label=f"y = sin({B}x)")
plt.legend()

plt.subplot(2, 3, 4)
plt.plot(x, y_sin_phase_shift, label=f"y = sin(x - {C})")
plt.legend()

plt.subplot(2, 3, 5)
plt.plot(x, y_sin_vertical_shift, label=f"y = sin(x) + {D}")
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()