Birim çember, trigonometri ve trigonometrik fonksiyonların anlaşılmasında önemli bir araçtır. Birim çember, merkezi koordinat sisteminin orijininde (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan bir çemberdir.

Birim çemberi kullanarak trigonometrik fonksiyonları bulmak için, genellikle bir açı θ oluşturmak için orijinden bir çizgi çekeriz. Bu çizgi, saat yönünün tersine dönerek birim çemberi bir noktada keser. Bu noktanın koordinatları (x, y) aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

- x = cos(θ)
- y = sin(θ)

Bu, birim çemberin tanımından gelir: bir açının kosinüsü, çember üzerindeki o noktaya olan yatay uzaklıktır (x koordinatı), ve açının sinüsü, çember üzerindeki o noktaya olan dikey uzaklıktır (y koordinatı).

Bu bilgileri kullanarak, belirli bir açı için sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını bulabiliriz. Örneğin, 30 derecelik bir açı için, bu noktanın koordinatları (cos(30), sin(30)) = (√3/2, 1/2) olacaktır.

Tanjant fonksiyonunu bulmak için, sin(θ) / cos(θ) formülünü kullanabiliriz. Bu, bir açının karşısındaki kenarın bitişik kenara oranıdır.

Örneğin, 45 derecelik bir açı için tan(45) = sin(45) / cos(45) = 1 olacaktır, çünkü 45 derecelik bir açının sinüsü ve kosinüsü her ikisi de √2/2'dir.

Ayrıca, birim çemberi kullanarak cosecant (csc), secant (sec), ve cotangent (cot) fonksiyonlarını da bulabiliriz. Bunlar sinüs, kosinüs ve tanjantın ters fonksiyonlarıdır. Örneğin, bir açının csc(θ) değeri 1/sin(θ)'ye eşittir.

Son olarak, birim çemberde, bir açının sinüsü ve kosinüsü her zaman -1 ile 1 arasında bir değer alır, çünkü bu değerler birim çemberin x ve y koordinatlarını temsil eder ve birim çemberin yarıçapı 1'dir. Tanjant, secant, cosecant ve cotangent değerleri ise bu aralığın dışına çıkabilir.

Birim çember üzerinde, herhangi bir açıyı orijinden (0,0) olacak şekilde çizeriz. Bu çizgiyi saat yönünün tersine doğru çizdiğimizi ve bu çizginin çemberi bir noktada kestiğini düşünün. Bu nokta (x, y) koordinatlarına sahip olacaktır.

Kosinüs: Bir açının kosinüsü, orijinden çember üzerindeki noktaya olan yatay (x-ekseni) uzaklığıdır. Yani, birim çember üzerinde bir açıyı çizdiğinizde, x koordinatı o açının kosinüsünü verir. Bu, cos(θ) = x formülüyle ifade edilir.

Sinüs: Bir açının sinüsü, orijinden çember üzerindeki noktaya olan dikey (y-ekseni) uzaklığıdır. Yani, birim çember üzerinde bir açıyı çizdiğinizde, y koordinatı o açının sinüsünü verir. Bu, sin(θ) = y formülüyle ifade edilir.

Birim çemberi kullanarak sinüs ve kosinüsü tanımlamanın bir avantajı, bu fonksiyonların geometrik olarak kolayca görülebilir olmasıdır. Ayrıca, birim çember üzerinde, bir açının sinüsü ve kosinüsü her zaman -1 ile 1 arasında bir değer alır, çünkü bu değerler birim çemberin x ve y koordinatlarını temsil eder ve birim çemberin yarıçapı 1'dir.

Birim çember üzerinde bir açıyı ifade etmek ve bu açının sinüs ve kosinüs değerlerini bulmak için, trigonometrinin ve koordinat sisteminin temel prensiplerini kullanırız. Birim çember, merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1 olan bir çemberdir.

Bir açıyı tanımlayın: Açıyı orijinden başlayacak şekilde tanımlarız. Genellikle, açıyı saat yönünün tersine doğru çizeriz. Bu, pozitif x-ekseninden başlar ve saat yönünün tersine çevirir.

Birim çember üzerinde bir nokta bulun: Bu açı, birim çember üzerinde belirli bir noktada çemberi keser. Bu noktanın koordinatları (x, y) olarak ifade edilir.

X ve Y koordinatlarını kullanarak sinüs ve kosinüsü bulun: Birim çember üzerindeki bir noktanın x-koordinatı, o açının kosinüs değerine eşittir, yani cos(θ) = x. Benzer şekilde, y-koordinatı, o açının sinüs değerine eşittir, yani sin(θ) = y.

Örneğin, birim çember üzerinde 30 derecelik bir açıyı ele alalım. Bu açının kosinüsü cos(30) = √3/2 ve sinüsü sin(30) = 1/2 olacaktır.

Bu, y-eksenine paralel veya x-eksenine paralel olan açılar için de geçerlidir. Yani, 0, 90, 180 ve 270 derecelik açılar için:

0 derece (veya 0 radyan): Burada, cos(0) = 1 ve sin(0) = 0.

90 derece (veya π/2 radyan): Burada, cos(90) = 0 ve sin(90) = 1.

180 derece (veya π radyan): Burada, cos(180) = -1 ve sin(180) = 0.

270 derece (veya 3π/2 radyan): Burada, cos(270) = 0 ve sin(270) = -1.

Pisagor kimliği, trigonometrinin temel ve önemli bir kimliğidir. Adını, bir dik üçgende hipotenüsün karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten Pisagor teoreminden alır. Trigonometride bu kimlik aşağıdaki şekilde ifade edilir:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Bu denklem, bir açının sinüsünün karesi ile kosinüsünün karesinin toplamının her zaman 1'e eşit olduğunu belirtir. θ herhangi bir gerçek sayı olabilir ve bu kimlik her zaman geçerlidir.

Bir diğer yoluyla açıklamak gerekirse, birim çemberi düşünebiliriz. Birim çemberin yarıçapı 1'dir. Bu çember üzerinde bir noktaya bir çizgi çekeriz, bu çizgi bir açı θ oluşturur. Bu çizginin x koordinatı kosinüs değeri (cos θ) ve y koordinatı ise sinüs değeri (sin θ) olur. Eğer bu çizginin uzunluğunu (ki bu birim çember olduğu için 1'dir) bir kare olarak düşünürsek, bu uzunluğun karesi sin²(θ) + cos²(θ) olur. Bu durumda, yarıçapın karesi her zaman 1'e eşit olduğu için, bu değerlerin toplamı da 1'e eşit olacaktır.

Bu kimlik, diğer trigonometrik kimliklere dönüştürülebilir. Örneğin, her iki tarafı cos²(θ) ile bölerseniz, elde edeceğiniz kimlik şu olur:

tan²(θ) + 1 = sec²(θ)

Burada, tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) ve sec(θ) = 1/cos(θ) olup, bu da tanjant ve sekantın tanımlarıdır. Benzer şekilde, her iki tarafı sin²(θ) ile bölerseniz, elde edeceğiniz kimlik şu olur:

1 + cot²(θ) = csc²(θ)

Burada, cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) ve csc(θ) = 1/sin(θ), bu da koterjant ve kosekantın tanımlarıdır. Bu kimlikler, trigonometri içerisinde çeşitli denklemleri çözmek ve basitleştirmek için çok kullanışlıdır.

Özel açılar genellikle 0, 30, 45, 60 ve 90 derece gibi trigonometri içinde sıkça karşılaşılan açılardır. Bu özel açıların sinüs ve kosinüs değerlerini bilmek, çeşitli matematiksel hesaplamaları kolaylaştırabilir.

Bu özel açıların sinüs ve kosinüs değerlerini aşağıda bulabiliriz:

0 derece:

sin(0) = 0

cos(0) = 1

30 derece:

sin(30) = 1/2

cos(30) = √3/2

45 derece:

sin(45) = √2/2

cos(45) = √2/2

60 derece:

sin(60) = √3/2

cos(60) = 1/2

90 derece:

sin(90) = 1

cos(90) = 0

Bu değerleri bulmanın bir yolu, birim çember ve eşlik eden dik üçgenleri kullanmaktır.

Koordinatları Bulmak İçin Referans Açılarını Kullanma: