Dik üçgenlerde, trigonometri genellikle üç temel oran üzerine kuruludur: sinüs (sin), kosinüs (cos) ve tanjant (tan). Bu oranlar, bir dik üçgenin açılarına ve kenarlarına bağlıdır. İşte bu oranların tanımları:

Sinüs (sin): Bu, bir açının karşısındaki kenarın hipotenüse olan oranıdır.

Kosinüs (cos): Bu, bir açının bitişik kenarının hipotenüse olan oranıdır.

Tanjant (tan): Bu, bir açının karşısındaki kenarın bitişik kenara olan oranıdır. Ayrıca sin/cos olarak da tanımlanabilir.

Bu üç oranın yanı sıra, çoğu trigonometri probleminin çözülmesine yardımcı olabilecek üç ek oran daha vardır: cotanjan (cot), sekant (sec) ve cosecant (csc). Bu oranlar, temel trigonometrik oranların tersidir:

Cotanjan (cot): Tanjantın tersi, yani bitişik kenarın karşı kenara olan oranı.

Sekant (sec): Kosinüsün tersi, yani hipotenüsün bitişik kenara olan oranı.

Cosecant (csc): Sinüsün tersi, yani hipotenüsün karşı kenara olan oranı.

Bir açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını hesaplarken, genellikle dik üçgen kullanılır. Açının büyüklüğüne bağlı olarak, trigonometrik oranlar belirli bir değeri gösterecektir.

Örneğin, 30 derecelik bir açının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse olan oranını temsil eder. Eğer dik üçgenimiz 30-60-90 üçgeni ise (bu özel bir dik üçgen türüdür), karşı kenar hipotenüsün yarısı olacaktır, dolayısıyla sin(30) = 1/2 olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonları değerlendirirken, genellikle bir dik üçgen çizeriz ve sonra gerekli oranları hesaplarız. Bunun için genellikle bir cetvel veya hesap makinesi kullanırız. Ayrıca, trigonometrik fonksiyonların belirli açılar için değerlerini ezberlemek de yararlı olabilir (örneğin 30, 45 ve 60 derece).

Trigonometrik fonksiyonların kartezyen koordinat sistemi ile doğrudan bir ilişkisi vardır ve genellikle birim çemberde bu ilişki gösterilir.

Birim çember, merkezi orijin olan ve yarıçapı 1 birim olan bir çemberdir. Birim çemberde, bir açıyı (genellikle theta (θ) ile gösterilir) orijinden başlatırız ve çizgiyi saat yönünün tersine çizeriz. Bu çizgi, birim çemberi bir noktada keser.

Bu noktanın koordinatları (x, y) aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

x = cos(θ)

y = sin(θ)

Bu, birim çemberin tanımına dayanır: bir açının kosinüsü, çember üzerindeki o noktaya olan yatay uzaklıktır (x koordinatı), ve açının sinüsü, çember üzerindeki o noktaya olan dikey uzaklıktır (y koordinatı).

Ayrıca, bu noktada çizilen dikey ve yatay çizgilerle bir dik üçgen oluşturabiliriz. Bu dik üçgenin hipotenüsü, orijinden çember üzerindeki noktaya olan uzaklıktır ve bu uzaklık her zaman 1'dir (çünkü bu birim çemberdir). Üçgenin yüksekliği, y koordinatına (yani sin(θ)'ye) eşittir ve üçgenin tabanı, x koordinatına (yani cos(θ)'ye) eşittir.

Sonuç olarak, trigonometrik fonksiyonlar ve kartezyen koordinat sistemi arasındaki bu ilişki, birim çemberi kullanarak geometri ve trigonometri arasında bir bağlantı kurmamıza olanak sağlar.

Özel açılar, genellikle trigonometrik fonksiyonlarını hesaplarken karşımıza çıkan 0, 30, 45, 60 ve 90 derece gibi açılardır. Bu özel açılar için trigonometrik değerler genellikle dik üçgenler ve birim çember üzerinden tanımlanır.

Dik üçgenlerde bu özel açıların karşılık geldiği kenarların uzunluklarını kullanarak, trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplama yöntemini anlatalım:

0 ve 90 derece: Bu özel açılar için sin, cos ve tan değerleri hızlıca belirlenebilir. sin(0)=0, cos(0)=1, tan(0)=0; sin(90)=1, cos(90)=0, tan(90) tanımlı değildir (çünkü 0'a bölme durumu vardır).

30-60-90 derece üçgeni: Bu üçgenin özelliği, hipotenüsün iki katı uzunluğunda olan bir kenarı olmasıdır. Yani eğer hipotenüs 2 birim ise, 30 dereceye karşı gelen kenar 1 birim, 60 dereceye karşı gelen kenar ise √3 birim olacaktır. Dolayısıyla:

sin(30) = 1/2, cos(30) = √3/2, tan(30) = 1/√3

sin(60) = √3/2, cos(60) = 1/2, tan(60) = √3

45-45-90 derece üçgeni: Bu üçgen eşkenar dik üçgendir. Yani, dik açının her iki tarafındaki kenarlar eşittir ve hipotenüs bu kenarların √2 katıdır. Dolayısıyla eğer bu kenarlar 1 birim ise:

sin(45) = 1/√2 = √2/2, cos(45) = 1/√2 = √2/2, tan(45) = 1

Bu hesaplamalar, belirli bir dik üçgenin kenarlarının uzunluklarını biliyorsanız ve bir açının sinüs, kosinüs veya tanjantını bulmak istiyorsanız, bu oranları bulmanıza yardımcı olabilir.

Eş işlevler ve tamamlayıcılar kavramı, trigonometrik fonksiyonların bazı ilginç ve kullanışlı özelliklerine dayanır.

Öncelikle, tamamlayıcı açıları anlamamız gerekiyor. İki açının tamamlayıcı olduğunu söylüyoruz, eğer bu iki açının toplamı 90 derece (veya π/2 radyan) olursa. Örneğin, 30 derece ve 60 derece tamamlayıcı açılardır çünkü 30 + 60 = 90.

Eş işlevler, bir trigonometrik fonksiyonun bir açının tamamlayıcısına uygulandığında, başka bir trigonometrik fonksiyonun o açıya uygulanmasına eşit olduğunu ifade eder. Yani, bir açı ve onun tamamlayıcısı için sin ve cos, tan ve cot, csc ve sec fonksiyonları birbirine eşittir.

Daha somut olarak:

1. sin(θ) = cos(90 - θ)
2. cos(θ) = sin(90 - θ)
3. tan(θ) = cot(90 - θ)
4. cot(θ) = tan(90 - θ)
5. sec(θ) = csc(90 - θ)
6. csc(θ) = sec(90 - θ)

Bu özellikler, özellikle daha karmaşık matematiksel problemleri çözerken veya trigonometrik fonksiyonları dönüştürürken çok kullanışlıdır. Bu özellikler genellikle trigonometrik kimlikler veya trigonometrik eşitlikler olarak bilinir ve trigonometriyi anlamak ve uygulamak için temel araçlardır.

Bu özelliklerin ispatı genellikle birim çember üzerindeki dik üçgenlerin geometrisine dayanır. Dik bir üçgen çizip, bir açının tamamlayıcısını çizerek ve sonra sin, cos, tan, cot, sec ve csc fonksiyonlarının tanımlarını uygulayarak bu eşitlikleri gözlemleyebiliriz. Sonuç olarak, her biri birbirinin tamamlayıcısı olan iki açının eş işlevlerine sahip olduğunu buluruz.

import math

def trigonometric_values(angle_deg):
    # Açıyı dereceden radyana dönüştür
    angle_rad = math.radians(angle_deg)

    # Trigonometrik fonksiyon değerlerini hesapla
    sin_val = math.sin(angle_rad)
    cos_val = math.cos(angle_rad)
    tan_val = math.tan(angle_rad)

    # Tanjant değeri 0'a eşit olmadığında, koterjant değerini hesapla
    if tan_val != 0:
        cot_val = 1/tan_val
    else:
        cot_val = "Tanımsız"
        
    # Kosinüs değeri 0'a eşit olmadığında, sekant değerini hesapla
    if cos_val != 0:
        sec_val = 1/cos_val
    else:
        sec_val = "Tanımsız"
        
    # Sinüs değeri 0'a eşit olmadığında, kosekant değerini hesapla
    if sin_val != 0:
        csc_val = 1/sin_val
    else:
        csc_val = "Tanımsız"

    # Tüm değerleri bir sözlükte döndür
    return {
        'Sin': sin_val,
        'Cos': cos_val,
        'Tan': tan_val,
        'Cot': cot_val,
        'Sec': sec_val,
        'Csc': csc_val,
    }

# Kullanıcıdan bir açı al ve trigonometrik değerleri yazdır
angle = float(input("Açıyı derece cinsinden girin: "))
values = trigonometric_values(angle)
for func, val in values.items():
    print(f"{func}({angle}) = {val}")