Açı, iki doğru veya yarı doğrunun bir noktada kesişmesiyle oluşan şekildir. Bu nokta genellikle "köşe" veya "merkez" olarak adlandırılır ve her iki doğru veya yarı doğru da "kenarlar" olarak adlandırılır.

Açılar genellikle derece (°) veya radian cinsinden ölçülür. Bir daire, 360 derece veya 2π radian olacak şekilde tanımlanır. Dolayısıyla, 180 derece bir düz açıyı (yani, iki doğrunun birbirine tam olarak zıt yönde uzanması durumunu), 90 derece bir dik açıyı (yani, iki doğrunun birbirine dik olması durumunu) ve 0 derece de iki doğrunun aynı yönde uzanması durumunu ifade eder.

Açılar, genellikle geometri ve trigonometri dahil olmak üzere matematiksel analizlerin temel bir parçasıdır. Ayrıca, fizik, mühendislik, bilgisayar bilimleri ve diğer birçok alanlarda da önemli bir rol oynarlar.

Özellikle, açılar genellikle aşağıdaki türlerde sınıflandırılır:

Sıfır Açı: Açının ölçüsü 0 derece olan açıdır. İki ışın üst üste gelir.

Keskin Açı: Açının ölçüsü 0'dan büyük ancak 90'dan küçük olan açıdır.

Dik Açı: Açının ölçüsü tam olarak 90 derece olan açıdır.

Düz Açı: Açının ölçüsü tam olarak 180 derece olan açıdır.

Geniş Açı: Açının ölçüsü 180'den büyük ancak 360'dan küçük olan açıdır.

Tam Açı: Açının ölçüsü tam olarak 360 derece olan açıdır.

Radian olarak ifade edersek;

Sıfır Açı: Açının ölçüsü 0 radian olan açıdır. İki ışın üst üste gelir.

Keskin Açı: Açının ölçüsü 0'dan büyük ancak π/2 radian'dan (yaklaşık 1.57 radian) küçük olan açıdır.

Dik Açı: Açının ölçüsü tam olarak π/2 radian olan açıdır.

Düz Açı: Açının ölçüsü tam olarak π radian olan açıdır.

Geniş Açı: Açının ölçüsü π'dan büyük ancak 2π radian'dan (yaklaşık 6.28 radian) küçük olan açıdır.

Tam Açı: Açının ölçüsü tam olarak 2π radian olan açıdır.

Derece ve radian arasında dönüştürme yapmak da mümkündür. 180 derece π radian olduğuna göre, dereceyi radiana dönüştürmek için dereceyi π ile çarpıp 180'e böleriz. Radianı dereceye dönüştürmek için ise radianı 180 ile çarpıp π'ye böleriz.

Radyan, trigonometri ve birçok matematiksel formülde yaygın olarak kullanılan bir açı ölçü birimidir. Açıları radyan cinsinden ifade etmek genellikle birkaç önemli avantaja sahiptir:

Matematiksel Basitlik: Radyanlar, birçok matematiksel formülü ve kavramı daha basit ve daha temiz hale getirir. Örneğin, bir çember üzerinde bir yayın uzunluğunu hesaplarken, formül r * θ çok basittir çünkü radyan, yayın uzunluğu ile çemberin yarıçapının oranını doğrudan ifade eder. Dereceleri kullanırken, bu formül daha karmaşık olacaktır.

Dereceler, genellikle daha sezgisel olabilir ve genellikle okulda ilk öğrendiğimiz açı birimidir. Ancak matematik ve bilimde daha derinlemesine ilerledikçe, radyanların kullanılmasının daha fazla anlam ifade ettiğini görürüz.

Standart konumdaki açılar, genellikle matematik ve özellikle trigonometri konularında kullanılır. Bir açının standart konumu, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Köşesi orijin noktasıdır (yani, (0,0) noktası).
2. Başlangıç kenarı pozitif x ekseni üzerindedir.
3. Açı, başlangıç kenarından bitiş kenarına kadar saat yönünün tersine döner.
4. Bir açıyı standart konumda çizmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
5. Köşeyi orijin noktasına yerleştirin. Orijin, koordinat sisteminin (0,0) noktasıdır.
6. Başlangıç kenarını pozitif x ekseni üzerine yerleştirin. Bu, sağa doğru uzanan yatay bir çizgi olmalıdır.
7. Açıyı saat yönünün tersine çizin. Eğer açı pozitifse, saat yönünün tersine (yukarı doğru) döneriz. Eğer açı negatifse, saat yönünde (aşağı doğru) döneriz.

Bir açının ölçüsü, başlangıç kenarından bitiş kenarına kadar döndüğü miktarı gösterir. Açılar genellikle derece veya radian cinsinden ölçülür.

Bir açının standart konumu, trigonometrik fonksiyonların (sin, cos, tan vb.) ve karmaşık sayıların polar formunun anlaşılmasında önemlidir.

 

 

 

θ	φ yada ϕ	α	β	γ
theta	phi	alpha	beta	gamma

 

Matematikte, bir açının pozitif veya negatif olmasını belirlemek genellikle döndürme yönüne bağlıdır. Standart pozisyonda, bir açı aşağıdaki şekilde çizilir:

İlk kenar (veya başlangıç çizgisi) pozitif x-ekseni üzerine yerleştirilir.

İkinci kenar (veya bitiş çizgisi), başlangıç noktasından başlayarak belirli bir yön ve mesafede çizilir.

Bu düzende, pozitif açılar saat yönünün tersine döndürülür. Yani, bir çizgiyi pozitif x-ekseninden saat yönünün tersine doğru döndürürseniz, oluşan açı pozitiftir. Örneğin, yukarı doğru bir çizgi çizdiğimizde, oluşturulan açı genellikle pozitif 90 derece veya π/2 radyandır.

Buna karşılık, negatif açılar saat yönünde döndürülür. Yani, bir çizgiyi pozitif x-ekseninden saat yönünde döndürürseniz, oluşan açı negatiftir. Örneğin, aşağı doğru bir çizgi çizdiğimizde, oluşturulan açı genellikle negatif 90 derece veya -π/2 radyandır.

Aynı çizgiyi saat yönünde 270 derece döndürerek de pozitif bir açı elde edebiliriz, bu da -90 derece ile aynı konuma gelir. Yani, pozitif ve negatif açılar aynı konumları temsil edebilir, ama döndürme yönü farklıdır.

"Quadrantal angle" terimi, bir açının ölçüsünün tam olarak 0, 90, 180, 270 veya 360 derece (veya radyan cinsinden 0, π/2, π, 3π/2 veya 2π) olduğu durumları tanımlar. Bu isim, birim çember üzerinde bu ölçülerin bir çeyreği, yani "quadrant" (çeyrek) oluşturması gerçeğinden gelir.

Örneğin, bir açının ölçüsü tam 90 derece veya π/2 radyan ise, bu bir quadrantal angle'dir ve açı çizildiğinde tam olarak bir çeyreği, yani bir quadrant'ı kapsar.

Matematikte bu açılar özellikle önemlidir çünkü trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant vb.) genellikle quadrantal açılar için özel değerlere sahiptir. Örneğin, sin(90°) = 1, cos(180°) = -1, tan(0°) = 0 ve benzeri.

 

Derece ve radyan birimleri, açıları ölçmek için kullanılır ve birbirlerine dönüştürülebilir. Birbirlerine dönüştürme işlemi, genellikle trigonometri ve kalkülüs problemlerinde kullanılır.

Derece biriminden radyan birimine dönüşüm, bir çarpan kullanılarak gerçekleştirilir: 

1 derece = π/180 radyan

Dolayısıyla, bir açıyı dereceden radyana çevirmek için derece değerini π/180 ile çarparsınız.

Örneğin, 180 dereceyi radyana çevirmek için:

180 derece * (π/180) = π radyan

Aynı şekilde, radyan biriminden derece birimine dönüşüm yapılır:

1 radyan = 180/π derece

Bu nedenle, bir açıyı radyandan dereceye çevirmek için radyan değerini 180/π ile çarparsınız.

Örneğin, π/2 radyanı dereceye çevirmek için:

π/2 radyan * (180/π) = 90 derece

Coterminal açılar, birim çember üzerinde aynı konuma işaret eden açılardır. Basitçe ifade etmek gerekirse, iki açı eğer aynı başlangıç ve bitiş noktalarına sahipse, o zaman bu açılar coterminaldir.

Coterminal bir açıyı bulmak için genellikle aşağıdaki adımları takip ederiz:

1. Eğer açı pozitif ve 360 dereceden büyükse, 360 derece çıkartmaya devam ederiz (veya radyan cinsinden 2π çıkartırız) açı 360 dereceden küçük olana kadar.

2. Eğer açı negatifse, 360 derece eklemeye devam ederiz (veya radyan cinsinden 2π ekleriz) açı 0 derece ile 360 derece arasında olana kadar.

Bu yöntemle, herhangi bir açı için sınırsız sayıda coterminal açı bulabiliriz. 

Örneğin, 400 derece için coterminal bir açı bulmak isteyelim:

400 - 360 = 40 derece 

Yani, 40 derece 400 derece ile coterminaldir çünkü her iki açı da birim çember üzerinde aynı noktayı gösterir. 

Bu kavram genellikle trigonometri ve matematikte açıları normalleştirmek için kullanılır, yani açıları belirli bir aralığa (genellikle 0-360 derece veya 0-2π radyan) indirgemek için.

Bu dönüşümler genellikle trigonometri, kalkülüs ve fizik problemlerinde kullanılır ve bir açının derece veya radyan cinsinden ifade edilmesine bağlı olarak, belirli bir durum için hangi formülasyonun daha kullanışlı olduğunu belirler.

 

def find_coterminal_angle(angle):
    # Eğer açı 0 ile 360 derece arasında ise, açı zaten coterminaldır
    if 0 <= angle < 360:
        return angle

    # Açı 360'tan büyük ise, 360 çıkartmaya devam ederiz
    while angle > 360:
        angle -= 360

    # Açı negatif ise, 360 eklemeye devam ederiz
    while angle < 0:
        angle += 360

    return angle

# Örnek kullanım:
print(find_coterminal_angle(400))  # çıktı: 40.0

 

Bir çemberin üzerindeki herhangi bir bölümün uzunluğuna "arc" (veya yay) denir. Bir çember üzerinde bir yayın uzunluğunu belirlemek için, çemberin yarıçapını ve yayın merkez açısını bilmemiz gereklidir.

Yay uzunluğunu hesaplama formülü şöyledir:

Arc Length = r * θ

Burada:

r, çemberin yarıçapıdır.

θ, merkez açıdır (radyan cinsinden).

Bu formül, θ'nın radyan cinsinden verildiği durumlarda geçerlidir. Eğer θ derece cinsinden verilmişse, önce dereceyi radyana çevirmemiz gereklidir. Bu, θ'yi π/180 ile çarparak yapılır.

Örneğin, r = 10 cm ve θ = 60 derece için yay uzunluğunu hesaplayalım. Önce 60 dereceyi radyana çevirelim:

θ (radyan) = 60 * π / 180 = π/3 radyan

Sonra, yay uzunluğunu hesaplayalım:

Arc Length = r * θ = 10 cm * π/3 = 10π/3 cm

 

Python Kodu:

import math

def calculate_arc_length(radius, angle_in_degrees):
    # İlk olarak, dereceyi radyana çevirelim
    angle_in_radians = math.radians(angle_in_degrees)
    
    # Ardından, yayın uzunluğunu hesaplayalım
    arc_length = radius * angle_in_radians
    
    return arc_length

# Örnek kullanım:
print(calculate_arc_length(10, 60))  # çıktı: 10.471975511965978

 

Bir çemberin belirli bir bölümünün alanına sektör denir. Bir sektörün alanını bulmak için, çemberin tam alanını ve sektörün çemberin merkez açısının ne kadarını kapladığını bilmemiz gereklidir.

Sektörün alanını hesaplamanın formülü şöyledir:

Sector Area = (θ / 2π) * πr²

Burada:

θ, merkez açıdır (radyan cinsinden).

r, çemberin yarıçapıdır.

Bu formül, θ'nın radyan cinsinden verildiği durumlarda geçerlidir. Eğer θ derece cinsinden verilmişse, önce dereceyi radyana çevirmemiz gereklidir. Bu, θ'yi π/180 ile çarparak yapılır.

Örneğin, r = 10 cm ve θ = 60 derece için sektör alanını hesaplayalım. Önce 60 dereceyi radyana çevirelim:

θ (radyan) = 60 * π / 180 = π/3 radyan

Sonra, sektör alanını hesaplayalım:

Sector Area = (π/3 / 2π) * π(10 cm)² = π/3 * 100 cm² = 100π/3 cm²

 

import math

def calculate_sector_area(radius, angle_in_degrees):
    # İlk olarak, dereceyi radyana çevirelim
    angle_in_radians = math.radians(angle_in_degrees)
    
    # Ardından, sektör alanını hesaplayalım
    sector_area = (angle_in_radians / (2 * math.pi)) * math.pi * radius**2
    
    return sector_area

# Örnek kullanım:
print(calculate_sector_area(10, 60))  # çıktı: 52.35987755982989

 

Bir nesnenin hareketini bir çember üzerinde tarif ederken, genellikle iki tür hız kullanırız: doğrusal hız ve açısal hız.

Doğrusal Hız (v): Doğrusal hız, belirli bir zaman diliminde nesnenin hareket ettiği mesafeyi ifade eder. Bu genellikle metre/saniye (m/s) veya km/saat (km/h) gibi birimlerle ölçülür. Doğrusal hız, çemberin çevresine paralel olarak hareket eder.

Açısal Hız (ω): Açısal hız, belirli bir zaman diliminde nesnenin hareket ettiği açıyı ifade eder. Bu genellikle radyan/saniye (rad/s) biriminde ölçülür. Açısal hız, çemberin merkezine göre nesnenin hareketini ölçer.

Bu iki hız türü arasındaki ilişki şu formülle ifade edilir:

v = r * ω

Burada:

v, doğrusal hızdır.

r, çemberin yarıçapıdır.

ω, açısal hızdır.

Bu formül, bir nesnenin çember üzerinde hareket ettiği mesafeyi (yani doğrusal hızı), çemberin merkezine göre ne kadar hızlı döndüğü (yani açısal hızı) ve çemberin boyutunu (yani yarıçapı) birleştirerek bulmamızı sağlar.

Örneğin, bir nesnenin açısal hızı 2 rad/s ve çemberin yarıçapı 3 m ise, nesnenin doğrusal hızını bulmak için bu değerleri formüle yerine koyarız: v = 3 m * 2 rad/s = 6 m/s.

Bu konseptler, birçok farklı alanda, özellikle fizik ve mühendislikte önemlidir, çünkü birçok hareketli sistem çembersel yörüngelere veya döngülere sahiptir.