Logaritmaların tanımı gereği, logaritmik bir fonksiyonun tanımlandığı değerler kümesi (domain), yani girdi değerleri, sadece pozitif reel sayılardır. Diğer bir deyişle, logaritmik bir fonksiyon sadece pozitif değerler için tanımlıdır ve bu nedenle bir logaritmik fonksiyonun domaini (0, ∞) aralığıdır.

Genel bir logaritmik fonksiyon "y = log_b(x)" şeklinde ifade edilebilir, burada "b" pozitif bir taban ve "x" ise logaritmanın argümanıdır. Bu fonksiyonun tanımlandığı x değerleri sadece x > 0 olacak şekildedir.

Eğer logaritmik fonksiyon içinde daha karmaşık bir ifade varsa, örneğin "y = log(x - 3)", bu durumda domaini belirlemek için logaritmanın içindeki ifadenin pozitif olacağı x değerlerini bulmamız gerekir. Bu örnekte, "x - 3" ifadesinin pozitif olması için x > 3 olmalıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyonun domaini (3, ∞) aralığıdır.

Bazı durumlarda, fonksiyon içindeki ifadenin domaini bulmak için denklem çözümlemesi veya eşitsizliklerin çözülmesi gerekebilir. Her durumda, temel kural logaritmanın argümanının (yani x'in aldığı değerlerin) sadece pozitif olmasıdır.

Logaritmik fonksiyonların grafik özelliklerine bir göz atalım:

Tanım Kümesi (Domain): Logaritmalar sadece pozitif sayılar için tanımlıdır. Bu nedenle, logaritmik bir fonksiyonun grafiksel domaini x > 0 olan tüm reel sayılardır.

Değer Kümesi (Range): Logaritmaların çıktıları tüm reel sayıları içerir, bu da logaritmik bir fonksiyonun range'inin tüm reel sayılar olduğu anlamına gelir.

X-eksenini Kesme: Logaritmik bir fonksiyon, yalnızca x = 1 noktasında x-eksenini keser. Bu, y = log_b(1) olduğunda gerçekleşir, ki bu her b değeri için 0'a eşittir.

Asimptotlar: Logaritmik fonksiyonların x = 0'da dikey bir asimptotu vardır. Bu, fonksiyonun x değerleri 0'a yaklaştıkça, y değerlerinin negatif sonsuza gitmesi anlamına gelir.

Artış/Azalış: Logaritmalar, tabanın 1'den büyük veya küçük olmasına bağlı olarak artar veya azalır. Örneğin, y = log_2(x) fonksiyonu bir artan fonksiyon olacaktır, çünkü taban 2, 1'den büyüktür. Ancak, y = log_(1/2)(x) fonksiyonu bir azalan fonksiyon olacaktır, çünkü taban olan 1/2, 1'den küçüktür.

Simetri: Logaritmalar, simetrik özelliklere sahip değillerdir, yani ne y eksenine ne de x eksenine göre simetri göstermezler.

Eğim: Logaritmik fonksiyonun eğimi, x'in değerine bağlıdır. x arttıkça, y değerlerinin artma hızı azalır. Bu, logaritmik fonksiyonların "azalan artış hızı" özelliğini ifade eder.

Bu özelliklerin hepsi, genel bir logaritmik fonksiyonun grafiğini çizme ve anlama yardımcı olur.

Matematikte, bir fonksiyonun grafiğine uygulanan dönüşümler genellikle kaydırma (translation), ölçekleme (scaling), yansıma (reflection) ve döndürme (rotation) şeklinde olur. Logaritmik fonksiyonlar için en yaygın dönüşümler kaydırma, ölçekleme ve yansımadır.

Bir logaritmik fonksiyonun genel formu şu şekildedir: y = a*log_b(x-h) + k

Bu formülde:

"a" ve "b" sayıları, fonksiyonun ölçeklendirilmesini kontrol eder.

"h" ve "k" sayıları, fonksiyonun kaydırılmasını kontrol eder.

Şimdi her bir dönüşümü ayrıntılı olarak inceleyelim:

Kaydırma (Translation):

Dikey Kaydırma: "k" değeri, fonksiyonun y ekseninde nasıl kaydırıldığını kontrol eder. Eğer "k" pozitifse, fonksiyon yukarı kayar; eğer "k" negatifse, fonksiyon aşağı kayar. Örneğin, y = log(x) ve y = log(x) + 2 fonksiyonları arasındaki fark, ikincisinin birincisine göre 2 birim yukarıda olmasıdır.

Yatay Kaydırma: "h" değeri, fonksiyonun x ekseninde nasıl kaydırıldığını kontrol eder. Eğer "h" pozitifse, fonksiyon sola kayar; eğer "h" negatifse, fonksiyon sağa kayar. Örneğin, y = log(x) ve y = log(x-1) fonksiyonları arasındaki fark, ikincisinin birincisine göre 1 birim sağda olmasıdır.

Ölçekleme (Scaling):

Dikey Ölçekleme: "a" değeri, fonksiyonun y ekseninde nasıl ölçeklendiğini kontrol eder. Eğer |a| > 1 ise, fonksiyon y eksenine göre genişler; eğer 0 < |a| < 1 ise, fonksiyon y eksenine göre daralır.

Yatay Ölçekleme: "b" değeri, fonksiyonun x ekseninde nasıl ölçeklendiğini kontrol eder. Eğer |b| > 1 ise, fonksiyon x eksenine göre daralır; eğer 0 < |b| < 1 ise, fonksiyon x eksenine göre genişler.

Yansıma (Reflection):

Dikey Yansıma: "a" değeri negatifse, fonksiyon y eksenine göre yansır.

Yatay Yansıma: "b" değeri negatifse, fonksiyon x eksenine göre yansır. Ancak, logaritmik fonksiyonlar için bu tür bir yansıma, fonksiyonun tanım kümesini değiştirir ve genellikle karmaşık sayıları içerir. Bu yüzden pratikte pek kullanılmaz.

Bu dönüşümler, bir logaritmik fonksiyonun grafiğini çizmeyi ve anlamayı kolaylaştırır. Her bir dönüşüm, fonksiyonun şeklini değiştirmeden onu y ekseninde yukarı/aşağı, x ekseninde sola/sağa kaydırır, genişletir/daraltır veya yansıtır.