Logaritmik fonksiyonlar, üstel fonksiyonların tersi işlemlerini gerçekleştirir. Yani, üstel bir fonksiyon belirli bir tabana göre bir sayının üssünü alırken, bir logaritmik fonksiyon, belirli bir tabana göre bir sayının üssünü bulmaya çalışır.

Logaritmik bir fonksiyon genellikle y = log_b(x) şeklinde ifade edilir. Burada b tabanı temsil eder ve x argümanı veya girdiyi temsil eder. Bu ifade, "b'nin hangi kuvvetine çıkmalıyız ki x elde edelim?" sorusuna cevap verir.

Örneğin, log_2(8) = 3, çünkü 2'nin 3. kuvveti 8'dir (2^3 = 8). 8 in 2 tabanında üstü kaçtır?

Bazı önemli özellikler:

Logaritma Kanunları: Logaritmalar bazı önemli kanunlara tabidir. Bunlar, logaritmaların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini daha basit hale getirir. Bu kanunlar matematik ve mühendislik alanlarında çok önemlidir.

Doğal Logaritma: e tabanlı logaritma, doğal logaritma olarak adlandırılır ve genellikle ln(x) şeklinde gösterilir. Doğal logaritma, matematikte, fizikte ve mühendislikte sıkça karşılaşılan bir kavramdır.

Logaritmik Fonksiyonların Grafikleri: Logaritmik fonksiyonların grafikleri genellikle belirli bir eksen etrafında simetriktir. Grafik, x=0'da y ekseni ile tanımlanmamış bir dikey asimptot ile başlar ve x arttıkça yavaşça artar.

Logaritmaların Kullanım Alanları: Logaritmaların çeşitli uygulamaları vardır. Örneğin, bilgisayar biliminde, bir algoritmanın zaman karmaşıklığını ifade etmek için logaritmalar sıkça kullanılır.

import math

# 8'in logaritması 2 tabanında 
print(math.log2(8))  # Ekrana 3.0 yazar

# 1000'in logaritması 10 tabanında
print(math.log10(1000))  # Ekrana 3.0 yazar

# e'nin doğal logaritması (taban e)
print(math.log(math.e))  # Ekrana 1.0 yazar

# İstediğiniz bir tabana göre logaritmayı math.log ile de hesaplayabilirsiniz
# Örneğin, 9'un logaritması 3 tabanında
print(math.log(9, 3))  # Ekrana 2.0 yazar

Bu örnekler, Python'da math.log2, math.log10 ve math.log fonksiyonlarının nasıl kullanılacağını gösterir. math.log fonksiyonu, belirli bir tabana göre bir sayının logaritmasını hesaplamak için kullanılır. Eğer taban belirtilmezse, bu fonksiyon doğal logaritmaları (yani e tabanlı logaritmaları) hesaplar.

Logaritmaların tabanları ve argümanları her zaman pozitif olmalıdır ve logaritmalar 0 veya negatif sayılar için tanımlı değildir (Python, bu tür değerlerle logaritma hesaplamaya çalışırsanız bir hata verecektir).

Örneğin, logaritma değerlendirmesinin temel bir örneğini düşünelim:

log2(8) = 3, çünkü 2'nin 3. kuvveti 8'dir (2^3 = 8).

Logaritmayı değerlendirmenin temel adımları şunlardır:

Logaritmayı ifade etme: Bir logaritma genellikle log_b(x) biçiminde ifade edilir. Burada 'b' tabanı temsil eder ve 'x' logaritmanın argümanıdır.

Üssü bulma: Logaritmayı değerlendirmek, genellikle "b'nin hangi üssü x'e eşittir?" sorusunun cevabını bulmayı içerir. Bu genellikle deneme yanılma, önceki bilgi veya bir hesap makinesi kullanılarak yapılır.

Sonucu belirleme: Bulunan üs, logaritmanın sonucudur.

Python'un math modülü, logaritmaları değerlendirmek için kullanabileceğimiz bir dizi fonksiyon sağlar. Örneğin, math.log2(x) fonksiyonu 2 tabanında x'in logaritmasını döndürür.

Bazı logaritma değerlerini belirleme örnekleri:

log2(32) = 5, çünkü 2'nin 5. kuvveti 32'dir.

log10(1000) = 3, çünkü 10'un 3. kuvveti 1000'dir.

ln(e^4) = 4, çünkü e'nin 4. kuvveti e^4'tür (ln, e tabanında doğal logaritmayı temsil eder).

Bu tür örnekler, logaritmaların nasıl değerlendirildiğini ve nasıl çalıştığını anlamamıza yardımcı olabilir.

Örneğin, 2 tabanında 8'in logaritmasını hesaplamak için:

print(math.log(8, 2))  # Ekrana 3.0 yazar

"Common logarithms" ifadesi genellikle 10 tabanında logaritmaları ifade eder. Matematiksel gösterimde, common logarithm, "log(x)" veya "log10(x)" olarak yazılır ve "10'un hangi kuvvetine çıkarız ki x elde edelim?" sorusunu yanıtlar.

Örneğin:

log(1000) = 3, çünkü 10^3 = 1000.

log(100) = 2, çünkü 10^2 = 100.

log(1) = 0, çünkü 10^0 = 1.

Common logaritmaların önemli bazı özellikleri şunlardır:

Dönüşüm Özelliği: Herhangi bir tabanda bir logaritmayı common logaritmaya dönüştürebiliriz. Örneğin, log_b(a) = log(a) / log(b).

Çarpma İçin Toplama Özelliği: log(a*b) = log(a) + log(b). Bu özellik, büyük sayıları çarpmak yerine toplama işlemine dönüştürmemizi sağlar.

Bölme İçin Çıkarma Özelliği: log(a/b) = log(a) - log(b).

Üslerin İndirilmesi Özelliği: log(a^n) = n*log(a). Bu özellik, üstel ifadeleri çözmeyi kolaylaştırır.

Bu özellikler, common logaritmaların hesaplamaları basitleştirmek ve daha karmaşık matematiksel problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterir.

import math

# Özellik 1: Çarpma İçin Toplama
# log(a*b) = log(a) + log(b)
a = 10
b = 20
print(math.log10(a * b))  # a*b'nin logaritmasını hesaplar
print(math.log10(a) + math.log10(b))  # a'nın logaritması ile b'nin logaritmasının toplamını hesaplar

# Özellik 2: Bölme İçin Çıkarma
# log(a/b) = log(a) - log(b)
a = 100
b = 10
print(math.log10(a / b))  # a/b'nin logaritmasını hesaplar
print(math.log10(a) - math.log10(b))  # a'nın logaritması ile b'nin logaritmasının farkını hesaplar

# Özellik 3: Üslerin İndirilmesi
# log(a^n) = n*log(a)
a = 2
n = 3
print(math.log10(a ** n))  # a^n'nin logaritmasını hesaplar
print(n * math.log10(a))  # n ile a'nın logaritmasının çarpımını hesaplar

"Natural Logarithms" (Doğal Logaritmalar), "e" (yaklaşık 2.71828 olan bir sayı) tabanında logaritmaları ifade eder. Matematiksel gösterimde, doğal logaritma genellikle "ln(x)" şeklinde belirtilir ve "e'nin hangi kuvvetine çıkarız ki x elde edelim?" sorusunu yanıtlar.

Örneğin:

ln(e) = 1, çünkü e^1 = e.

ln(1) = 0, çünkü e^0 = 1.

ln(e^5) = 5, çünkü e^5 = e^5.

import math

# e'nin doğal logaritması (taban e)
print(math.log(math.e))  # Ekrana 1.0 yazar

# e^5'in doğal logaritması
print(math.log(math.e ** 5))  # Ekrana 5.0 yazar

# 100'un doğal logaritması
print(math.log(100))  # Ekrana yaklaşık 4.60517018599 yazar

Doğal logaritmaların önemli bazı özellikleri şunlardır:

Dönüşüm Özelliği: Herhangi bir tabanda bir logaritmaları doğal logaritmaya dönüştürebiliriz. Örneğin, log_b(a) = ln(a) / ln(b).

Çarpma İçin Toplama Özelliği: ln(a*b) = ln(a) + ln(b). Bu özellik, büyük sayıları çarpmak yerine toplama işlemine dönüştürmemizi sağlar.

Bölme İçin Çıkarma Özelliği: ln(a/b) = ln(a) - ln(b).

Üslerin İndirilmesi Özelliği: ln(a^n) = n*ln(a). Bu özellik, üstel ifadeleri çözmeyi kolaylaştırır.

import math

# Özellik 1: Çarpma İçin Toplama
# ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
a = math.e
b = math.e**2
print(math.log(a * b))  # a*b'nin doğal logaritmasını hesaplar
print(math.log(a) + math.log(b))  # a'nın doğal logaritması ile b'nin doğal logaritmasının toplamını hesaplar

# Özellik 2: Bölme İçin Çıkarma
# ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
a = math.e**3
b = math.e
print(math.log(a / b))  # a/b'nin doğal logaritmasını hesaplar
print(math.log(a) - math.log(b))  # a'nın doğal logaritması ile b'nin doğal logaritmasının farkını hesaplar

# Özellik 3: Üslerin İndirilmesi
# ln(a^n) = n*ln(a)
a = math.e
n = 3
print(math.log(a ** n))  # a^n'nin doğal logaritmasını hesaplar
print(n * math.log(a))  # n ile a'nın doğal logaritmasının çarpımını hesaplar

Doğal logaritmaların, çoğunlukla hesaplama ve analiz gerektiren bilim, mühendislik ve matematik gibi alanlarda kullanılmasının sebebi, e sayısının (veya doğal logaritmanın tabanı olan sayının) türevler ve integral hesaplamalarında önemli bir rol oynamasıdır.

Problem-Çözüm:

log2(2)+log2(3x−5)=3

log2(2(3x−5))=3

log2(6x−10)=3

2³=6x−10

8=6x−10

18=6x

x=3