1980 civarında Benoit Mandelbrot tarafından keşfedilen Mandelbrot Seti, en çok tanınan fraktal görüntülerden biridir. Görüntü, kendine benzerlik teorisi ve yineleme işlemi üzerine inşa edilmiştir. Fraktal bir görüntüyü yakınlaştırmak, özellikle büyütme arttıkça ortaya çıkan ayrıntıların yüksek düzeyde tekrarlanmasında birçok sürprizi beraberinde getirir. Bu görüntüyü oluşturan denklemin oldukça basit olduğu ortaya çıkıyor.

Bunu daha iyi anlamak için yeni bir sayı grubuna aşina olmamız gerekiyor. Matematik çalışmasının sürekli olarak kendi üzerine inşa edildiğini unutmayın. Örneğin negatif tamsayılar, pozitif tamsayılar kümesinin bıraktığı boşluğu doldurur. Rasyonel sayılar kümesi ise tamsayılar kümesinin bıraktığı boşluğu doldurur. Reel sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin bıraktığı boşluğu doldurur. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, gerçek sayılar kümesinde de boşluklar vardır. Bu bölümde, gerçek sayılar kümesindeki boşlukları dolduran bir sayı kümesini inceleyeceğiz ve içinde nasıl çalışacağımızı öğreneceğiz.

Kompleks sayılar, matematikte kullanılan bir sayı türüdür ve gerçel sayıları genişletir. Bir kompleks sayı, bir "gerçel" bileşeni ve bir "sanal" bileşeni olan bir sayıdır. İşte genel formu:

a + bi

Burada, a ve b gerçel sayılardır ve i sanal birimin kendisidir. Sanal birim i, -1 sayısının karekökü olarak tanımlanır. Yani i^2 = -1.

Gerçel ve Sanal Bileşenler:

Bir kompleks sayının a + bi formunda, a gerçel bileşeni ve b sanal bileşenini temsil eder. Gerçel bileşen, kompleks sayının gerçel eksen üzerindeki konumunu belirler, sanal bileşen ise sanal eksen üzerindeki konumunu belirler. a ve b bileşenleri kompleks sayının genel formundaki gerçel sayılardır.

Örneğin, 3 + 4i kompleks sayısında 3 gerçel bileşeni ve 4 sanal bileşenidir.

Bir negatif sayının karekökünü hesaplarken, karmaşık sayılar ve özellikle "i" (sanal birim) kavramını kullanırız. "i"nin tanımı, i^2 = -1'dir. Bu, "i"nin karekök -1 olduğunu ifade eder.

Örneğin, -9'un karekökünü hesaplamak istediğimizi düşünelim. Bu, √-9 şeklinde ifade edilir. Ancak, negatif bir sayının karekökünü almak gerçek sayılarla mümkün olmadığından, bunu iki adıma böleriz:

Öncelikle, 9'un karekökünü alırız, bu 3'tür.

Daha sonra, -1'in karekökünü alırız, bu "i"dir.

Bu iki sonucu çarparız ve sonuç -9'un karekökü olan 3i olur.

Genel olarak, herhangi bir negatif sayının karekökü, pozitif karşılığının karekökü ile "i"nin çarpımı olarak ifade edilir. Yani, √-a = √a * i şeklinde ifade edilir.

$$\begin{gathered} \sqrt{-49} = \sqrt{49.(-1)} \\ =\sqrt{49}\sqrt{-1} \\ =7i \end{gathered}$$

Karmaşık düzlem (veya Argand diyagramı), karmaşık sayıları görselleştirmek için kullanılan bir yöntemdir. Bu düzlemde, x-ekseni gerçek sayıları ve y-ekseni sanal sayıları temsil eder.

Bir karmaşık sayıyı karmaşık düzlemde çizmek için:

Gerçek kısmı (a), x-ekseni boyunca ve sanal kısmı (b), y-ekseni boyunca bulunur.

Bu iki nokta, karmaşık sayının konumunu belirlemek için birleştirilir.

Örneğin, 3 + 4i karmaşık sayısını çizmek istiyorsanız, x-ekseni boyunca 3 birim ve y-ekseni boyunca 4 birim hareket edersiniz. Bu, karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki konumunu belirler.

Bu görselleştirme yöntemi, karmaşık sayıların özelliklerini ve işlemlerini daha iyi anlamak için çok yararlıdır. Örneğin, karmaşık sayıların toplamını ve çarpımını görselleştirebilirsiniz. Ayrıca, karmaşık sayıların büyüklüğünü ve açısını (veya argümanını) belirlemek için de kullanılır.

Python'da matplotlib kütüphanesini kullanarak karmaşık sayıları bir koordinat sisteminde gösterebiliriz. Python'da karmaşık sayılar, "j" notasyonu kullanılarak ifade edilir. İşte bir örnek:

import matplotlib.pyplot as plt

# karmaşık sayıyı tanımlayın
z = 3 + 4j

# gerçek ve sanal kısımları alın
x = z.real
y = z.imag

# noktayı çizin
plt.plot(x, y, 'ro')

# koordinat sistemini ayarlayın
plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-5, 5)
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)

# grafiği gösterin
plt.show()

Karmaşık Sayıları Toplama:

Karmaşık sayıları toplarken, gerçek kısımları ve sanal kısımları ayrı ayrı toplarız. Örneğin, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i şeklinde ifade edilir.

Örneğin, (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i olur.

Karmaşık Sayıları Çıkarma:

Karmaşık sayıları çıkartırken de benzer bir yaklaşım izleriz. Gerçek kısımları ve sanal kısımları ayrı ayrı çıkarırız. Örneğin, (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i şeklinde ifade edilir.

Örneğin, (3 + 4i) - (1 + 2i) = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i olur.

Karmaşık Sayıları Çarpma:

Karmaşık sayıları çarpmak için, genellikle çift dağıtım yasasını kullanırız. Yani, (a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci - bd şeklinde ifade edilir. Son terimde, i^2'nin -1 olduğunu hatırlayın, bu yüzden -bd yerine bd olur.

Örneğin, (3 + 4i) * (1 + 2i) = 31 + 32i + 4i1 + 4i2i = 3 + 6i + 4i - 8 = -5 + 10i olur.

i¹=i

i²=-1

i³=-i

i⁴=1

diğer kuvvetler 4 moduna göre yukardak sıraya göre gider. i³⁵ = -i  burda 35 i 4 böldüğümüzde 3 kalanı verir.

İşte bir örnek:

# karmaşık sayıları tanımlayın
z1 = 3 + 4j
z2 = 1 + 2j

# karmaşık sayıları toplama
toplam = z1 + z2
print("Toplam:", toplam)

# karmaşık sayıları çıkarma
fark = z1 - z2
print("Fark:", fark)

# karmaşık sayıları çarpma
carpim = z1 * z2
print("Çarpım:", carpim)

# karmaşık sayının büyüklüğünü (mutlak değerini) hesaplama
buyukluk = abs(z1)
print("Büyüklük:", buyukluk)

# karmaşık sayının fazını (açısını) hesaplama
import cmath
faz = cmath.phase(z1)
print("Faz (radyan cinsinden):", faz)

Bu kod, karmaşık sayıları toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini gerçekleştirir. Ayrıca, bir karmaşık sayının büyüklüğünü (veya mutlak değerini) ve fazını (veya açısını) hesaplar. Faz, radyan cinsinden ifade edilir.

Kompleks Sayıların Kullanım Alanları:

Kompleks sayılar genellikle fizik ve mühendislikte kullanılır, özellikle elektrik mühendisliği ve sinyal işleme gibi alanlarda. Örneğin, bir elektrik devresinde akım ve gerilim arasındaki ilişkiyi ifade etmek için kompleks sayılar kullanılır. Ayrıca, dalga hareketleri, kuantum mekaniği ve birçok matematiksel formülde de kompleks sayılar kullanılır.

Kompleks Sayıların Matematiksel İşlemleri:

Kompleks sayılarla yapılan matematiksel işlemler (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) genellikle genişletilmiş bir form içerir ve iki kompleks sayının gerçel ve sanal bileşenlerinin ayrı ayrı işlenmesini gerektirir. Örneğin, iki kompleks sayının toplamını bulmak için, gerçel bileşenleri ve sanal bileşenleri ayrı ayrı toplarsınız.

Matematikte kompleks sayılar, matematiksel modeller oluşturma ve bazı matematiksel problemlerin çözülmesini mümkün kılma yetenekleri nedeniyle çok önemlidir. Her ne kadar günlük yaşamda sıkça karşılaşmasak da, bilim ve mühendislikteki birçok uygulama kompleks sayıları gerektirir.