Tek değişkenli doğrusal denklemler, genellikle "ax + b = 0" şeklinde ifade edilir ve 'x' için çözüm bulmak istediğimiz denklemlerdir. Burada 'a' ve 'b' sabitlerdir.

Python, sympy gibi kütüphaneler sayesinde matematiksel denklemlerin çözümünü bulmak için kullanılabilir.

Aşağıda, Python ve sympy kütüphanesi kullanılarak tek değişkenli bir doğrusal denklemin nasıl çözüleceği gösterilmektedir:

from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols('x')

# Denkleminizi tanımlayın
denklem = Eq(2*x + 3, 7)

# Denklemi çözün
cozum = solve(denklem, x)

print("Denklemin çözümü: ", cozum)

Bu kodda, sympy kütüphanesinin symbols, Eq ve solve fonksiyonlarını import ettik. symbols fonksiyonu, denklemlerimizde kullanacağımız sembolleri tanımlar. Bu örnekte, 'x' sembolünü tanımlıyoruz.

Eq fonksiyonu, çözmek istediğimiz denklemleri tanımlamak için kullanılır. Bu örnekte, "2*x + 3 = 7" denklemini tanımlıyoruz.

solve fonksiyonu, belirtilen denklemin çözümünü bulur. Bu örnekte, denklemi 'x' için çözüyoruz.

Son olarak, çözümü print fonksiyonu ile ekrana yazdırıyoruz.

Doğrusal bir denklem, genellikle "y = mx + b" biçiminde ifade edilir. Burada 'm' eğimi (slope) ve 'b' y-kesimi (y-intercept) temsil eder. Eğim, doğrunun ne kadar hızla yükseldiğini veya düştüğünü gösterirken, y-kesim, doğrunun y ekseni ile kesiştiği noktadır.

Bir doğrusal denklemin eğimini ve y-kesimini bilirsek, bu denklemin formülünü bulabiliriz. İşte bunu Python kullanarak nasıl yapacağınızın bir örneği:

def dogrusal_denklem(eğim, y_kesim):
    return f"y = {eğim}x + {y_kesim}"

# Eğim ve y-kesimi belirleyelim.
eğim = 2
y_kesim = 1

# Doğrusal denklemin formülünü bulalım.
denklem = dogrusal_denklem(eğim, y_kesim)

print("Doğrusal denklemin formülü: ", denklem)

Bu kodda, bir fonksiyon tanımlıyoruz ki bu fonksiyon eğimi ve y-kesimi alarak doğrusal denklemin formülünü oluşturuyor. Daha sonra, belirli bir eğim ve y-kesim ile bu fonksiyonu çağırıyoruz. Bu fonksiyonun döndürdüğü değer, doğrusal denklemin formülüdür ve bunu ekrana yazdırıyoruz.

Bu, doğrusal bir denklemi bulmanın çok basit bir yoludur. Ancak, genellikle doğrusal denklemler veri noktalarından elde edilir ve bunları bulmak için daha karmaşık istatistiksel teknikler kullanılır. Bu, genellikle doğrusal regresyon veya en küçük kareler yöntemi olarak bilinen bir işlemdir.

Nokta-Eğim formülü, belirli bir noktadan geçen ve belirli bir eğime sahip bir doğrusal denklemin formülünü bulmak için kullanılır. Formül şu şekildedir:

y - y1 = m(x - x1)

Burada (x1, y1) noktası ve 'm' eğimi ifade eder.

Bu formül, bir nokta ve bir eğim bilindiğinde, bu bilgilerle tanımlanan doğrusal denklemin formülünü bulmayı çok basit hale getirir.

Python'da Nokta-Eğim formülünü kullanarak bir denklem oluşturma örneği:

def nokta_egim_formul(eğim, nokta):
    return f"y - {nokta[1]} = {eğim}(x - {nokta[0]})"

# Eğim ve noktayı belirleyelim.
eğim = 2
nokta = (3, 2)

# Nokta-Eğim formülünü kullanarak denklemin formülünü bulalım.
denklem = nokta_egim_formul(eğim, nokta)

print("Nokta-Eğim formülü ile elde edilen denklem: ", denklem)

Bu kodda, bir fonksiyon tanımlıyoruz ki bu fonksiyon eğim ve bir nokta alıp Nokta-Eğim formülünü kullanarak bir denklem oluşturuyor. Daha sonra, belirli bir eğim ve bir nokta ile bu fonksiyonu çağırıyoruz. Bu fonksiyonun döndürdüğü değer, Nokta-Eğim formülü kullanılarak elde edilen denklemdir ve bunu ekrana yazdırıyoruz.

Doğrusal grafikler iki genel kategoriye ayrılır: dikey çizgiler ve yatay çizgiler. Bu çizgilerin anlamları ve nasıl oluşturulacaklarına dair birkaç noktayı açıklayalım.

Dikey Çizgiler (Vertical Lines): Dikey çizgiler, yatay eksene (x ekseni) dik olan çizgilerdir. Her noktasında x koordinatı sabittir. Bu nedenle, dikey bir çizginin denklemi genellikle "x = a" şeklindedir, burada 'a' sabit bir değerdir. Örneğin, "x = 2" denklemi, x-ekseni üzerinde 2 noktasından geçen dikey bir çizgiyi temsil eder.

Yatay Çizgiler (Horizontal Lines): Yatay çizgiler, dikey eksene (y ekseni) dik olan çizgilerdir. Her noktasında y koordinatı sabittir. Bu nedenle, yatay bir çizginin denklemi genellikle "y = b" şeklindedir, burada 'b' sabit bir değerdir. Örneğin, "y = 3" denklemi, y-ekseni üzerinde 3 noktasından geçen yatay bir çizgiyi temsil eder.

Her iki durumda da, çizginin her noktası aynı yükseklikte (yatay çizgiler için) veya aynı yatay konumda (dikey çizgiler için) olacaktır. Bu özellikler, bu tür çizgilerin analizinde ve çiziminde çok önemlidir.

Python'un matplotlib kütüphanesi, yatay ve dikey çizgiler çizmek için kullanılabilir.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Dikey çizgi için değerler
x1 = np.full(100, 2)
y1 = np.linspace(-10, 10, 100)

# Yatay çizgi için değerler
x2 = np.linspace(-10, 10, 100)
y2 = np.full(100, 3)

# Çizgileri çizme
plt.plot(x1, y1, label='x=2 (Dikey Çizgi)')
plt.plot(x2, y2, label='y=3 (Yatay Çizgi)')

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Bu kodda, numpy kütüphanesinin linspace ve full fonksiyonlarını kullanarak, dikey ve yatay çizgiler için x ve y değerlerini oluşturduk. Daha sonra matplotlib'in plot fonksiyonunu kullanarak bu değerlere göre çizgileri çizdik. Eksenler üzerindeki ızgara çizgilerini görüntülemek için grid fonksiyonunu ve efsaneyi görüntülemek için legend fonksiyonunu kullandık.

Çizgilerin paralel veya dik olup olmadığını belirlemek, genellikle analitik geometri ve lineer cebirde karşılaşılan bir kavramdır. İki doğrunun paralel veya dik olup olmadığını anlamanın bazı yöntemleri vardır:

Paralel Çizgiler: İki çizginin paralel olup olmadığını belirlemek için eğimlerine bakabiliriz. İki çizginin eğimleri eşitse, çizgiler paraleldir. Çizgilerin denklemleri genellikle y = mx + b formunda olup, m eğimi ifade eder. Dolayısıyla, iki çizginin denklemlerinden m değerini belirleyip karşılaştırabiliriz.

Dik Çizgiler: İki çizginin dik olup olmadığını belirlemek için de eğimlerine bakabiliriz. İki çizginin eğimleri birbirinin negatif tersiyse, çizgiler diktir. Yani, bir çizginin eğimi m1 ve diğer çizginin eğimi m2 ise, m1 * m2 = -1 eşitliği doğruysa çizgiler dik demektir.

Python ile bu kavramları örneklendirebiliriz. Aşağıdaki kodda, iki çizginin paralel veya dik olup olmadığını belirleyen bir fonksiyon yazıyoruz:

def check_lines(m1, m2):
    if m1 == m2:
        return "Çizgiler paralel."
    elif m1 * m2 == -1:
        return "Çizgiler dik."
    else:
        return "Çizgiler ne paralel ne de dik."

# İki çizginin eğimlerini belirleyin
m1 = 2
m2 = 2

# Çizgilerin durumunu kontrol edin
result = check_lines(m1, m2)

print(result)

Bu kodda, eğimlerine göre iki çizginin durumunu belirleyen bir fonksiyon oluşturduk. Bu fonksiyon, giriş olarak iki eğim alır ve bu eğimlere göre çizgilerin paralel, dik veya hiçbiri olup olmadığını belirler. Sonra bu fonksiyonu belirli eğimlerle çağırıp sonucu ekrana yazdırıyoruz.