Jump to content
Üyelik kaydınızı yaparak son yazılan içeriklerden haberdar olun! ×
  • entries
    57
  • comments
    0
  • views
    31,046

Kartezyen Koordinat Sistemi


Doğuhan ELMA

180 views

Rectangular (veya Cartesian) koordinat sistemi, düzlem üzerindeki her bir noktanın iki sayı ile belirtildiği bir sistemdir. Bu sayılara o noktanın koordinatları denir. Bu sistemde, düzlem üzerindeki her nokta, orijinden olan yatay (x) ve dikey (y) uzaklıklar ile belirtilir.

Kartezyen koordinat sistemine genel bakış:

Orijin (Origin): Bu, koordinat sisteminin merkez noktasıdır ve genellikle (0, 0) olarak belirtilir. Bu nokta, x ekseninin ve y ekseninin kesişme noktasıdır.

Eksenler (Axes): Kartezyen koordinat sistemi iki eksenden oluşur: x eksenini temsil eden yatay bir çizgi ve y eksenini temsil eden dikey bir çizgi.

Koordinatlar (Coordinates): Her noktanın konumunu belirtmek için, x ve y eksenleri boyunca ölçülen iki sayıyı kullanırız. Bir noktanın koordinatları genellikle (x, y) şeklinde belirtilir.

Bölge (Quadrants): İki eksenin kesişmesi, düzlemi dört bölgeye böler. Bu bölgeler quadrants (çeyrekler) olarak adlandırılır ve saat yönünün tersine doğru I, II, III ve IV olarak numaralandırılırlar.

Kartezyen koordinat sistemini kullanarak, matematiksel ifadelerin grafiklerini çizebiliriz. Örneğin, lineer bir denklemin (y = mx + b gibi) grafiğini çizmek için, çeşitli x değerleri için y değerlerini hesaplar ve bu (x, y) noktalarını düzlem üzerinde çizeriz. Bu noktalar birleştirildiğinde, denklemin grafiğini elde ederiz.

Kartezyen koordinat sistemi, matematiksel denklemleri görselleştirmek ve analiz etmek için oldukça değerli bir araçtır. Bilim ve mühendislikte, bu sistem genellikle fenomenleri modellemek ve öngörülerde bulunmak için kullanılır.

1.webp

Kartezyen koordinat sisteminde, bir noktanın konumunu belirlemek için genellikle iki koordinat kullanılır: x ve y. Bu iki koordinat, genellikle bir düzlem üzerindeki bir noktanın yatay (x) ve dikey (y) konumlarını belirtir.

"x-koordinat" bir noktanın x ekseni üzerindeki konumunu ifade eder. Bu, genellikle noktanın solundan sağa doğru olan konumudur. Negatif x-koordinatlar genellikle x ekseninin solunda, pozitif x-koordinatlar ise x ekseninin sağında bulunan noktaları ifade eder.

1.webp

Örneğin, Python'da bir noktanın x-koordinatını belirtmek için aşağıdaki kodu kullanabiliriz:

# Bir nokta oluşturalım.
nokta = (3, -1)

# Noktanın x-koordinatını yazdıralım.
print("Noktanın x-koordinatı:", nokta[0])

Bu kod, bir "nokta" adlı değişken oluşturur ve bu değişken bir çift (tuple) olan (3, 2) değerini alır. Bu çiftin ilk elemanı, yani 3, noktanın x-koordinatıdır. Kodun son satırı bu x-koordinatını ekrana yazdırır.

Aynı şekilde, eğer bir liste veya dizi içinde bir dizi nokta varsa, bu noktaların x-koordinatlarını almak için bir döngü veya bir list comprehension kullanabiliriz. Örneğin:

# Bir dizi nokta oluşturalım.
noktalar = [(1, 2), (3, 4), (5, 6)]

# Noktaların x-koordinatlarını alalım.
x_koordinatları = [nokta[0] for nokta in noktalar]

print("Noktaların x-koordinatları:", x_koordinatları)

Bu kod, "noktalar" adlı bir liste oluşturur ve bu listenin içinde üç tane çift bulunur. Sonra bir list comprehension kullanarak bu çiftlerin x-koordinatlarını alır ve bunları "x_koordinatları" adlı bir liste içinde toplar. Son satır bu listeyi ekrana yazdırır.

 

Kartezyen koordinat sisteminde, "origin" ya da Türkçede "orijin", genellikle iki veya üç boyutlu bir uzayın merkezi noktasını ifade eder. Orijin, tüm koordinat eksenlerinin kesiştiği yerdir ve genellikle (0, 0) veya (0, 0, 0) koordinatlarında bulunur.

Python'da, orijin genellikle bir tuple veya bir liste olarak ifade edilir ve bu tuple veya liste genellikle tüm elemanları sıfır olan bir dizi sayıdır. Örneğin, iki boyutlu bir uzayda orijin aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

# İki boyutlu bir orijin
orijin_2d = (0, 0)
print("İki boyutlu orijin:", orijin_2d)

Eğer üç boyutlu bir uzayda çalışıyorsanız, orijin genellikle aşağıdaki gibi ifade edilir:

# Üç boyutlu bir orijin
orijin_3d = (0, 0, 0)
print("Üç boyutlu orijin:", orijin_3d)

Bu kodlar, iki ve üç boyutlu uzayların orijinlerini temsil eden iki değişken oluşturur ve bunları ekrana yazdırır. Bu orijinler, tüm koordinatların sıfır olduğu noktaları ifade eder.

Orijin, matematik ve bilgisayar grafiklerinde genellikle önemli bir rol oynar. Çünkü birçok işlem ve dönüşüm, orijine göre tanımlanır veya orijin etrafında gerçekleştirilir. Örneğin, bir nesnenin veya noktanın orijine göre dönmesi, genellikle bir dönüşüm matrisi ile ifade edilen bir işlemi gerektirir.

 

Kartezyen koordinat sisteminde, bir noktanın y-koordinatı, noktanın y eksenine olan dikey uzaklığını temsil eder. Yani, y-koordinatı bir noktanın dikey (yukarı veya aşağı) konumunu belirler. Negatif y-koordinatları genellikle y ekseni altında, pozitif y-koordinatları ise y ekseninin üzerinde bulunan noktaları ifade eder.

Örneğin, Python'da bir noktanın y-koordinatını belirtmek için aşağıdaki kodu kullanabiliriz:

# Bir nokta oluşturalım.
nokta = (3, 2)

# Noktanın y-koordinatını yazdıralım.
print("Noktanın y-koordinatı:", nokta[1])

Bu kod, bir "nokta" adlı değişken oluşturur ve bu değişken bir çift (tuple) olan (3, 2) değerini alır. Bu çiftin ikinci elemanı, yani 2, noktanın y-koordinatıdır. Kodun son satırı bu y-koordinatını ekrana yazdırır.

Aynı şekilde, eğer bir liste veya dizi içinde bir dizi nokta varsa, bu noktaların y-koordinatlarını almak için bir döngü veya bir list comprehension kullanabiliriz. Örneğin:

# Bir dizi nokta oluşturalım.
noktalar = [(1, 2), (3, 4), (5, 6)]

# Noktaların y-koordinatlarını alalım.
y_koordinatlari = [nokta[1] for nokta in noktalar]

print("Noktaların y-koordinatları:", y_koordinatları)

Bu kod, "noktalar" adlı bir liste oluşturur ve bu listenin içinde üç tane çift bulunur. Sonra bir list comprehension kullanarak bu çiftlerin y-koordinatlarını alır ve bunları "y_koordinatları" adlı bir liste içinde toplar. Son satır bu listeyi ekrana yazdırır.

Fonksiyondan Çizim Noktarını Çıkarma:

 

 

x y=2x1 (x,y)
−3 y=2(−3)1=−7 (−3,−7)
−2 y=2(−2)1=−5 (−2,−5)
−1 y=2(−1)1=−3 (−1,−3)
0 y=2(0)1=−1 (0,−1)
1 y=2(1)1=1 (1,1)
2 y=2(2)1=3 (2,3)
3 y=2(3)1=5 (3,5)

1.webp Noktalardan Grafik Çizimi

 

Kartezyen koordinat sisteminde bir grafik veya eğrinin x-intercept'leri ve y-intercept'leri, grafik veya eğrinin x-ekseni veya y-ekseni ile kesiştiği noktaları temsil eder.

x-intercept, grafiğin x-eksenini kestiği noktadır. Bu noktada, y değeri sıfırdır.

y-intercept, grafiğin y-eksenini kestiği noktadır. Bu noktada, x değeri sıfırdır.

Python'da bir fonksiyonun x-intercept'ini ve y-intercept'ini bulmak için biraz matematik ve Python kodlaması yapabiliriz.

Örneğin, y = 3x - 1 doğrusunun x-intercept ve y-intercept'lerini bulmak için aşağıdaki Python kodunu kullanabiliriz:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = 3*x - 1

# x-intercept'i bulmak için y'nin sıfır olduğu x değerini bulmamız gerekiyor
x_intercept = sp.solve(y, x)
print("x-intercept:", x_intercept)

# y-intercept'i bulmak için x'in sıfır olduğu y değerini bulmamız gerekiyor
y_intercept = y.subs(x, 0)
print("y-intercept:", y_intercept)

Bu kod, sympy adlı bir kütüphane kullanılarak x-intercept ve y-intercept'leri buluyor. İlk olarak, 'x' sembolünü ve 'y' ifadesini tanımlıyoruz. Sonra, 'y'nin sıfır olduğu 'x' değerini bulmak için sp.solve(y, x) ifadesini kullanıyoruz. Bu, x-intercept'in değerini verir. Sonra, 'x'in sıfır olduğu 'y' değerini bulmak için 'y.subs(x, 0)' ifadesini kullanıyoruz. Bu, y-intercept'in değerini verir. Bu değerler ekrana yazdırılır.

 

1.webp

Mesafe formülü, Kartezyen koordinat sistemindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamanın bir yoludur. İki nokta (x1, y1) ve (x2, y2) olarak adlandırılırsa, bu iki nokta arasındaki mesafe aşağıdaki formülle hesaplanır:

D = sqrt((x2 - x1 + (y2 - y1)²)

Bu formül, Pisagor'un teoremini kullanarak iki boyutlu bir uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi bulur.

Python'da bu formülü kullanarak iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamanın bir örneğini aşağıda bulabilirsiniz:

import math

# İki nokta belirleyelim.
nokta1 = (1, 2)
nokta2 = (4, 6)

# Mesafeyi hesaplayalım.
mesafe = math.sqrt((nokta2[0] - nokta1[0])**2 + (nokta2[1] - nokta1[1])**2)

print("İki nokta arasındaki mesafe:", mesafe)

Bu kodda, ilk olarak math kütüphanesini import ediyoruz ki bu, karekök hesaplama işlevini içerir. Sonra, iki nokta belirliyoruz. Mesafeyi hesaplarken, her iki noktanın x ve y koordinatlarını kullanıyoruz. Bu, x koordinatları ve y koordinatları arasındaki farkın karelerinin toplamının karekökünü alarak yapılır. Bu hesaplamanın sonucu, iki nokta arasındaki mesafedir ve bu değer ekrana yazdırılır.

1.webp

 

Ortanokta formülü, Kartezyen koordinat sisteminde iki nokta arasındaki orta noktanın koordinatlarını bulmanın bir yoludur. Eğer iki noktamız (x1, y1) ve (x2, y2) ise, bu iki noktanın ortasındaki nokta aşağıdaki formülle bulunur:

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

Bu formül, her iki koordinatın aritmetik ortalamasını alır ve bu da iki noktanın ortasındaki noktadır.

Python'da bu formülü kullanarak iki nokta arasındaki orta noktayı hesaplamanın bir örneği aşağıdaki gibidir:

# İki nokta belirleyelim.
nokta1 = (1, 2)
nokta2 = (4, 6)

# Ortanoktayı hesaplayalım.
ortanokta = ((nokta1[0] + nokta2[0]) / 2, (nokta1[1] + nokta2[1]) / 2)

print("İki nokta arasındaki ortanokta:", ortanokta)

Bu kodda, iki nokta belirliyoruz ve sonra her iki noktanın x ve y koordinatlarının ortalamasını alıyoruz. Bu, x koordinatları ve y koordinatları için (x1 + x2) / 2 ve (y1 + y2) / 2 formüllerini kullanarak yapılır. Bu hesaplamanın sonucu, iki nokta arasındaki orta noktanın koordinatlarıdır ve bu değerler ekrana yazdırılır.

1.webp

 

0 Comments


Recommended Comments

There are no comments to display.

Guest
Add a comment...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

×
×
  • Create New...