Matematikte, bir fonksiyonun grafiğini çizmek, fonksiyonun davranışını görsel olarak anlamak için önemli bir araçtır. Fonksiyonlar bazen genişlemeler (stretches) veya sıkıştırmalar (compressions) yoluyla dönüştürülür. Bu dönüşümler, fonksiyonun grafiğini belirli yönlerde "çekme" veya "sıkıştırma" anlamına gelir.

Vertical Stretches (Dikey Genişlemeler): Bir fonksiyonun grafiğinin genişlemesi, genellikle fonksiyonun çarpanının 1'den büyük olması durumunda gerçekleşir. Örneğin, f(x) = 2x^2 fonksiyonu, g(x) = x^2 fonksiyonunun y eksenine göre genişlemiş halidir. Bu durumda, çizgiler daha geniş bir yay çizer ve çizgiler y ekseninden daha fazla uzaklaşır.

Vertical Compressions (Dikey Sıkıştırmalar): Bir fonksiyonun grafiğinin sıkıştırılması, genellikle fonksiyonun çarpanının 1'den küçük olması durumunda gerçekleşir. Örneğin, f(x) = 0.5x^2 fonksiyonu, g(x) = x^2 fonksiyonunun y eksenine göre sıkıştırılmış halidir. Bu durumda, çizgiler daha dar bir yay çizer ve çizgiler y eksenine daha yaklaşır.

Stretches ve compressions, bir fonksiyonun grafiğinin şeklini ve boyutlarını değiştirir, ancak genel formunu korur. Genişlemeler ve sıkıştırmalar, bir fonksiyonun matematiksel modellemesini ve grafiğini anlamak için önemli araçlardır.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the x range for which we will plot the function
x = np.linspace(-10, 10, 400)

# Define the function
def f(x):
    return x**2

# Apply a stretch and a compression
y1 = 2*f(x)  # stretch
y2 = 0.5*f(x)  # compression

# Create the plots
plt.figure(figsize=(8, 6))

plt.plot(x, f(x), label="f(x) = x^2", linewidth=2)
plt.plot(x, y1, label="Stretch: 2*f(x)", linewidth=2)
plt.plot(x, y2, label="Compression: 0.5*f(x)", linewidth=2)

# Add labels and a legend
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.title("Stretch and Compression of the function f(x) = x^2")
plt.show()

Bu kod, f(x) = x^2 fonksiyonunu ve bu fonksiyonun bir genişlemesini ve sıkıştırılmasını çizer. Genişleme, f(x) fonksiyonunun 2 ile çarpılmasıyla elde edilirken, sıkıştırma f(x) fonksiyonunun 0.5 ile çarpılmasıyla elde edilir. Bu, y eksenine göre bir genişleme ve sıkıştırmayı temsil eder.

Fonksiyonların grafiklerinde horizontal (yatay) genişlemeler ve sıkıştırmalar da gerçekleşebilir. Bunlar, x eksenine paralel olarak fonksiyonun "genişletilmesi" veya "sıkıştırılması" anlamına gelir.

Horizontal Stretches (Yatay Genişlemeler): Bir fonksiyonun yatay genişlemesi, genellikle fonksiyonun çarpanının 1'den küçük olması durumunda gerçekleşir. Örneğin, f(x) = (0.5x)^2 fonksiyonu, g(x) = x^2 fonksiyonunun x eksenine göre genişlemiş halidir. Bu durumda, çizgiler daha geniş bir yay çizer ve çizgiler x ekseninden daha fazla uzaklaşır.

Horizontal Compressions (Yatay Sıkıştırmalar): Bir fonksiyonun yatay sıkıştırılması, genellikle fonksiyonun çarpanının 1'den büyük olması durumunda gerçekleşir. Örneğin, f(x) = (2x)^2 fonksiyonu, g(x) = x^2 fonksiyonunun x eksenine göre sıkıştırılmış halidir. Bu durumda, çizgiler daha dar bir yay çizer ve çizgiler x eksenine daha yaklaşır.

Yatay genişlemeler ve sıkıştırmalar, bir fonksiyonun x eksenine paralel olarak nasıl "çekildiği" veya "sıkıştırıldığı" hakkında bilgi verir. Bu, bir fonksiyonun grafiğinin şeklini ve boyutlarını değiştirir, ancak genel formunu korur. Yatay genişlemeler ve sıkıştırmalar, bir fonksiyonun matematiksel modellemesini ve grafiğini anlamak için önemli araçlardır.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the x range for which we will plot the function
x = np.linspace(-10, 10, 400)

# Define the function
def f(x):
    return x**2

# Apply a horizontal stretch and a horizontal compression
y1 = f(0.5*x)  # horizontal stretch
y2 = f(2*x)  # horizontal compression

# Create the plots
plt.figure(figsize=(8, 6))

plt.plot(x, f(x), label="f(x) = x^2", linewidth=2)
plt.plot(x, y1, label="Horizontal Stretch: f(0.5x)", linewidth=2)
plt.plot(x, y2, label="Horizontal Compression: f(2x)", linewidth=2)

# Add labels and a legend
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.title("Horizontal Stretch and Compression of the function f(x) = x^2")
plt.show()

Bu kod, f(x) = x^2 fonksiyonunu ve bu fonksiyonun bir yatay genişlemesini ve yatay sıkıştırılmasını çizer. Yatay genişleme, f(x) fonksiyonunun x'in 0.5 ile çarpılmasıyla elde edilirken, yatay sıkıştırma f(x) fonksiyonunun x'in 2 ile çarpılmasıyla elde edilir. Bu, x eksenine göre bir genişleme ve sıkıştırmayı temsil eder.

Bilgisayar Grafikleri: Germe ve sıkıştırma işlemleri, 3D modelleme ve animasyonda genellikle kullanılır. Bir nesnenin boyutlarını değiştirmek veya bir animasyonu hızlandırmak / yavaşlatmak için germe ve sıkıştırma teknikleri kullanılabilir.

Veri Analizi: Germe ve sıkıştırma, bir veri setini daha iyi anlamak veya belirli bir modelle daha iyi uyum sağlamak için verinin ölçeğini ayarlamak amacıyla kullanılabilir. Bu, genellikle makine öğrenmesinde veri ön işleme adımı olarak görülür.