Bir fonksiyonun ortalama değişim oranı, bir fonksiyonun bir aralıktaki toplam değişiminin, bu aralıktaki giriş değerlerinin (x değerlerinin) değişimine oranını ifade eder. Matematiksel olarak, bir fonksiyonun ortalama değişim oranı aşağıdaki formülle hesaplanır:

(f(b) - f(a)) / (b - a)

Bu formülde, a ve b, giriş değerlerinin aralığını belirler; f(a) ve f(b) ise bu giriş değerlerindeki fonksiyonun çıktılarını belirtir.

Ortalama değişim oranı, genellikle iki nokta arasında bir doğru çizerek bir fonksiyonun eğimini tahmin etmek için kullanılır. Bu, özellikle bir fonksiyonun genel davranışını anlamaya yardımcı olabilir.

Örneğin, bir araba hızlanıyor ve 10 saniye boyunca 0'dan 60 mil/saat hıza çıkıyorsa, arabanın ortalama hız değişim oranı (60 mil/saat - 0 mil/saat) / (10 saniye - 0 saniye) = 6 mil/saat/saniye olur.

Bu hesaplama, genellikle bir fonksiyonun eğimini veya bir değişkenin bir diğerine göre nasıl değiştiğini anlamak için kullanılır. Aynı zamanda, kalkülüsteki türev kavramının temelini oluşturur. Ortalama değişim oranı, fonksiyonun belirli bir aralıktaki genel eğimini verirken, türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık eğimini verir.

Örneğin:

Örneğimizde, benzin fiyatı 2005'ten 2012'ye 1,37 dolar arttı. 7 yılda ortalama değişim oranı

Δy/Δx=$1.377/7 yıl≈0.196$/yıl

y₂−y₁=Δy
x₂−x₁=Δx
 

$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">y</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">x</span>}}<span\; style="font-size:24px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">f</span>}<span\; style="font-size:24px;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">x</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:24px;">₂</span>}}{}$
)-f(x₁
)x₂
-x₁

Bir Grafikten Ortalama Değişim Oranını Hesaplama:

Bir fonksiyonun ortalama değişim oranını bir grafikten hesaplama süreci aşağıdaki adımları içerir:

Başlangıç ve Bitiş Noktalarını Belirle: Ortalama değişim oranı hesaplanırken, öncelikle hesaplamanın yapılacağı başlangıç ve bitiş noktalarının belirlenmesi gerekir. Bu noktalar grafik üzerinde belirli (x,y) koordinatlarına sahip olacaktır. Örneğin, başlangıç noktamız (a, f(a)) ve bitiş noktamız (b, f(b)) olsun.

Farkları Hesapla: Ortalama değişim oranını hesaplarken, y değerlerinin (fonksiyon çıktılarının) farkına bakarız. Bu, bitiş noktasındaki fonksiyonun değeri ile başlangıç noktasındaki değeri arasındaki farktır, yani f(b) - f(a).

X Değerlerinin Farkını Hesapla: X değerlerinin farkını bulmamız gerekiyor, yani b - a.

Ortalamayı Hesapla: Ortalama değişim oranını bulmak için, y değerlerinin farkını x değerlerinin farkına böleriz. Yani, (f(b) - f(a)) / (b - a).

Bu, fonksiyonun grafiğini kullanarak ortalama değişim oranını hesaplamanın genel sürecidir. Başka bir deyişle, ortalama değişim oranı, fonksiyonun başlangıç ve bitiş noktaları arasında çizilen bir doğrunun eğimidir.

Bir örnek üzerinden gidelim. Diyelim ki bir fonksiyonumuz var ve bu fonksiyonun grafiği üzerinde iki nokta belirledik: (2, 4) ve (5, 10). Ortalama değişim oranını hesaplamak için, önce y değerlerinin farkını buluruz: 10 - 4 = 6. Sonra x değerlerinin farkını buluruz: 5 - 2 = 3. Ortalama değişim oranını bulmak için y değerlerinin farkını x değerlerinin farkına böleriz: 6 / 3 = 2. Bu durumda, bu iki nokta arasındaki fonksiyonun ortalama değişim oranı 2'dir. Bu, bu iki nokta arasında çizilen doğrunun eğimini temsil eder.

Unutmayın, ortalama değişim oranı bir "ortalama" olduğu için, bu iki nokta arasındaki fonksiyonun tamamını tam olarak temsil etmeyebilir. Fonksiyon bu iki nokta arasında düzensiz bir şekilde artıp azalabilir, ancak ortalama değişim oranı yalnızca başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki genel eğimi temsil eder.

Şekil'de gösterilen g(t) fonksiyonu verildiğinde, [−1,2] aralığındaki ortalama değişim oranını bulun.

Çözüm:

Yatay değişim Δt=3 kırmızı okla, dikey değişim Δg(t)=−3 ise turkuaz okla gösterilir. Ortalama değişim oranı, turuncu doğru parçasının eğimi ile gösterilir. Çıkış -3 değişirken giriş 3 değişir ve ortalama değişim oranı verir. 

Bir fonksiyonun ortalama değişim oranını hesaplamak için, öncelikle fonksiyonun kendisini ve başlangıç ve bitiş noktalarını bilmeniz gerekmektedir. Aşağıda, bu hesaplamanın bir örneğini gösteren bir Python kodu bulunmaktadır:

Örneğin, bir fonksiyonumuz var: f(x) = x^2 ve bu fonksiyonun 2 ile 5 arasındaki ortalama değişim oranını bulmak istiyoruz.

def f(x):
    return x**2

def average_rate_of_change(func, a, b):
    return (func(b) - func(a)) / (b - a)

a = 2
b = 5

print("Average Rate of Change: ", average_rate_of_change(f, a, b))

Bu kod, f(x) = x^2 fonksiyonunun 2 ve 5 noktaları arasındaki ortalama değişim oranını hesaplar.