Matematiksel olarak neyin izin verildiğini de dikkate almalıyız. Örneğin, tanım kümesi ve aralık gerçek sayılardan oluşuyorsa, bizi negatif bir sayının çift kökünü almaya götüren herhangi bir girdi değeri ekleyemeyiz. Ya da formül olarak ifade edilen bir fonksiyonda bizi 0'a bölmeye sevk edecek herhangi bir girdi değerini tanım alanına dahil edemeyiz. 

Domain (Tanım Kümesi): Bir fonksiyonun tanımlı olduğu değerler kümesidir. Yani, bir fonksiyonun alabileceği tüm giriş değerlerini (input) içerir. Örneğin, f(x) = x^2 fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılardır çünkü x'in herhangi bir reel sayı değerine sahip olmasına izin veririz.

Range (Değer Kümesi): Bir fonksiyonun çıktı değerlerini (output) temsil eder. Yani, bir fonksiyonun üretebileceği tüm sonuçları içerir. Yukarıdaki örnekte f(x) = x^2 fonksiyonunun değer kümesi, tüm pozitif reel sayılar ve sıfırdır, çünkü bir sayının karesi her zaman pozitif bir sayıdır veya sıfırdır.

"Specify Domain and Range" ifadesi genellikle bir fonksiyonun tanım ve değer kümesini belirtme veya bu kümeleri bulma sürecini ifade eder. Örneğin, belirli bir fonksiyonun belirli bir tanım kümesine veya değer kümesine sahip olup olmadığını belirlemek veya bir fonksiyonun hangi değerler üzerinde tanımlı olduğunu veya hangi sonuçları üretebileceğini belirlemek bu sürece dahildir. Bu, özellikle bir fonksiyonun davranışını anlamak ve bir problemin çözümünü belirlemek için önemlidir.

Aynı zamanda, tanım ve değer kümesi kavramları genellikle fonksiyonların grafiklerini çizmek için de kullanılır. Fonksiyonun tanım kümesi, x eksenindeki değerleri (genellikle yatay ekseni), fonksiyonun değer kümesi ise y eksenindeki değerleri (genellikle dikey ekseni) belirtir.

Notasyonları Kullanarak Tanım Kümesi ve Değer Kümesini Belirtme, bir fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesini belirlemek için çeşitli notasyonların kullanılmasını ifade eder. Matematiksel notasyonlar, bu tür bilgileri açık ve özlü bir şekilde ifade etmenin standart bir yoludur. Aşağıda, bu tür notasyonların bazı örneklerini bulabilirsiniz:

Interval Notation (Aralık Notasyonu): Bu notasyon, bir aralığı belirtmek için kullanılır. Örneğin, f(x) = x^2 fonksiyonunun tanım kümesini belirtmek için "(-∞, ∞)" ifadesini kullanabiliriz, çünkü bu fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlıdır. Değer kümesini belirtmek için ise "[0, ∞)" ifadesini kullanabiliriz, çünkü bir sayının karesi her zaman sıfır veya pozitif bir sayıdır.

Set-builder Notation (Küme Kurucu Notasyon): Bu notasyon, bir kümeyi belirli bir özellik veya özelliklerle tanımlar. Örneğin, f(x) = 1/x fonksiyonunun tanım kümesini belirtmek için "x : x ≠ 0" ifadesini kullanabiliriz, çünkü bu fonksiyon sıfırda tanımlı değildir.

{(2,10),(3,10),(4,20),(5,30),(6,40)}{(2,10),(3,10),(4,20),(5,30),(6,40)}

Tanım Kümesi: {2,3,4,5,6}

Değer Kümesi: {10,20,30,40}

Inequality Notation (Eşitsizlik Notasyonu): Bu notasyon, bir eşitsizlikle bir aralığı belirtir. Örneğin, f(x) = sqrt(x) fonksiyonunun tanım kümesini belirtmek için "x ≥ 0" ifadesini kullanabiliriz, çünkü bu fonksiyon sadece sıfır ve pozitif sayılarda tanımlıdır.

Bu notasyonlar, bir fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesini belirtmek için kullanılan çeşitli yöntemlerden sadece birkaçıdır. Bu bilgi genellikle bir fonksiyonun özelliklerini anlamak, bir fonksiyonun grafiğini çizmek, veya belirli bir problemi çözmek için önemlidir.

Bir Fonksiyonun Tanım Kümesini Bulma:

Evet, tabii ki. Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun geçerli olduğu ve gerçek bir çıktı verdiği tüm giriş değerlerini içerir. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulmanın çeşitli yolları vardır ve kullanılan yöntem genellikle fonksiyonun türüne ve verilen denkleme bağlıdır.

Örneğin, basit bir lineer fonksiyon (y = mx + b) için, tanım kümesi genellikle tüm reel sayılar olacaktır, çünkü lineer fonksiyon herhangi bir reel sayıyı giriş olarak kabul eder ve bir çıktı verir.

Bir karekök fonksiyonu (y = √x) için ise, tanım kümesi sadece x'in pozitif olduğu ve sıfıra eşit olduğu değerler olacaktır, çünkü negatif bir sayının karekökü reel bir sayı değildir.

Bir bölme işlemi içeren bir fonksiyon (y = 1/x) için, tanım kümesi x'in sıfıra eşit olmadığı tüm reel sayılar olacaktır, çünkü bir sayının sıfıra bölünmesi tanımlanmamıştır.

Özel durumları, karmaşık sayılar ve daha karmaşık matematiksel fonksiyonlar gibi, ayrıca dikkate almanız gerekebilir. Ancak genel olarak, bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak, hangi giriş değerlerinin fonksiyonu "bozmayacağını" anlamakla ilgilidir. Her zaman belirli bir fonksiyonun kısıtlamalarını ve özelliklerini dikkate almanız gerektiğini unutmayın.
 

1. f(x)=x²−1

Tanım Kümesi: (−∞,∞)

2.$f\left(x\right) = \frac{x+1}{x-2}$

3.$f\left(x\right) = \sqrt{8-x}$

Tanım Kümesi: (−∞,8]

Grafiklerden Tanım Kümesi ve Değer Kümesi Bulma, bir fonksiyonun grafiksel temsilini inceleyerek bu fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesini belirlemeyi ifade eder. İşte bu sürecin birkaç adımı:

Tanım Kümesi (Domain) Bulma:

Tanım kümesini belirlemek için, grafiğin x ekseni üzerinde ne kadar yayıldığına bakılır. Grafik hangi x değerlerine karşılık geliyorsa, o değerler tanım kümesini oluşturur. Örneğin, grafiği tüm x eksenini kaplıyorsa, tanım kümesi tüm reel sayıları içerir, yani (-∞, ∞) olur. Grafik sadece x ≥ 0'da görünüyorsa, tanım kümesi x ≥ 0 olacaktır.

Değer Kümesi (Range) Bulma:

Değer kümesini belirlemek için, grafiğin y ekseni üzerinde ne kadar yayıldığına bakılır. Grafik hangi y değerlerine karşılık geliyorsa, o değerler değer kümesini oluşturur. Örneğin, bir grafik y ekseninin tamamını kaplıyorsa, değer kümesi tüm reel sayıları içerir, yani (-∞, ∞) olur. Eğer grafik sadece y ≥ 0'da görünüyorsa, değer kümesi y ≥ 0 olacaktır.

Bu süreç, bir fonksiyonun özelliklerini anlamak ve bir problemi çözmek için önemlidir. Örneğin, bir fonksiyonun belirli bir değeri kabul edip etmediğini veya belirli bir sonuca ulaşıp ulaşmadığını belirlemek genellikle bir problemin çözümünde önemli bir adımdır. Ayrıca, bir fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesini bilmek, bir fonksiyonun grafiğini çizmek için de gerekli bilgileri sağlar.

Örnekler:

Tanım: (−3,1]

Değer: [−4,0]

Tanım:  1973≤t≤2008

Değer:  180≤b≤2010