Jump to content
  • entries
    57
  • comments
    0
  • views
    27,822

Kesişen Çizgiler


Doğuhan ELMA

212 views

Geometriye aşina olmayanlar için, 'kesişen çizgiler' konsepti biraz karmaşık görünebilir, ancak aslında oldukça basittir. Kesişen çizgiler iki veya daha fazla çizginin bir noktada birleştiği yerdir.

Daha ayrıntılı bir tanımla, kesişen çizgiler, iki veya daha fazla çizginin bir noktada birleştiği ve bu noktada çizgilerin eğimlerinin değiştiği çizgilerdir. Kesişim noktasında, her bir çizgi diğer çizginin üzerinden geçer. Bu çizgiler düzlemde farklı yönleri gösterir.

Kesişen çizgilerin genellikle dört özelliği vardır:

Her iki çizgi de aynı noktada birleşir. Bu noktaya kesişim noktası denir.

Kesişim noktasında, her bir çizgi diğer çizginin üzerinden geçer.

Kesişen çizgiler dört açı oluşturur. Bu açılar genellikle birbirine eşittir.

Kesişen çizgiler, düzlemde birbirlerine dik olan çizgiler oluşturur.

Örneğin, bir "X" harfi düşünün. Burada her iki çizgi bir noktada birleşir ve bu noktada birbirinin üzerinden geçer. Ayrıca, her iki çizgi de dört açı oluşturur. Bu nedenle, bir "X" harfi kesişen çizgilerin basit bir örneğidir.

Sonuç olarak, kesişen çizgiler geometride önemli bir kavramdır ve birçok farklı geometrik şekli ve özelliği tanımlamada kullanılır.

Her çizgi, genelde 2 boyutlu düzlemde, y = mx + b formunda bir doğrusal denklemle temsil edilir. Burada 'm' çizginin eğimini, 'b' de y-kesimini (yani y eksenini kestiği noktayı) ifade eder.

Eğer iki çizgi bir noktada kesişiyorsa, bu demektir ki, bu iki çizginin denklemleri o noktada aynı (x, y) değerlerini verir. Yani, eğer çizgiler L1 ve L2 kesişiyorsa ve L1'in denklemi y = m1x + b1, L2'nin denklemi y = m2x + b2 ise, o zaman bu iki çizginin kesiştiği nokta (x, y), her iki denklemi de sağlayan bir noktadır. Yani:

m1x + b1 = m2x + b2

Bu eşitliği x için çözdüğümüzde, kesişme noktasının x koordinatını buluruz. Sonra bu x değerini herhangi bir denkleme koyarak y koordinatını buluruz. Bu bize kesişme noktasını (x, y) verir.

Not: m1 ve m2'nin birbirine eşit olmadığı durumlar için bu geçerlidir. Eğer m1 = m2 ise ve b1 ≠ b2 ise, bu çizgiler paraleldir ve hiçbir noktada kesişmezler. Eğer m1 = m2 ve b1 = b2 ise, bu çizgiler aynıdır ve tüm noktalarda 'kesişirler'.

1.png

Çizgilerin denklemleri şu şekildedir:

y = m1x + b1

y = m2x + b2

Kesişme noktasında, her iki çizgi de aynı y değerine sahip olacak, yani m1x + b1 = m2x + b2.

Bu eşitliği çözerek x'in değerini bulabiliriz. Öncelikle eşitliği düzenleyelim:

m1x - m2x = b2 - b1 (m1 - m2)x = b2 - b1

Sonra, x'in değerini bulmak için her iki tarafı da (m1 - m2) ile bölelim:

x = (b2 - b1) / (m1 - m2)

İşte bu formül, iki çizginin kesiştiği noktanın x koordinatını bulmamızı sağlar. Sonra bu x değerini herhangi bir denkleme koyarak y koordinatını buluruz.

Örneğin, y = m1x + b1 denklemini kullanırsak, kesişme noktasının y koordinatı y = m1 * [(b2 - b1) / (m1 - m2)] + b1 olur.

def intersection_point(m1, b1, m2, b2):
    if m1 == m2: # eğer çizgiler paralel ise veya aynı ise
        print("Çizgiler paralel veya aynı, bu yüzden kesişme noktası yok")
        return None

    # kesişme noktasının x ve y koordinatlarını hesaplama
    x = (b2 - b1) / (m1 - m2)
    y = m1 * x + b1

    return (x, y)


# çizgilerin eğim ve y-kesim değerlerini veriyoruz
m1 = 1
b1 = 0
m2 = -1
b2 = 1

point = intersection_point(m1, b1, m2, b2)

if point is not None:
    print(f"Kesişme noktası: {point}")

 

Aşağıda, SymPy kullanarak y = m1x + b1 ve y = m2x + b2 çizgilerinin kesişme noktasını bulmak için bir Python kodu bulunmaktadır.

from sympy import symbols, Eq, solve

def intersection_point(m1, b1, m2, b2):
    x, y = symbols('x y')

    # çizgilerin denklemleri
    line1 = Eq(y, m1*x + b1)
    line2 = Eq(y, m2*x + b2)

    # denklemleri çöz
    intersection = solve((line1, line2), (x, y))

    return intersection

# çizgilerin eğim ve y-kesim değerlerini veriyoruz
m1 = 1
b1 = 0
m2 = -1
b2 = 1

point = intersection_point(m1, b1, m2, b2)

print(f"Kesişme noktası: {point}")

Bu kod örneği, y = x (m1 = 1, b1 = 0) ve y = -x + 1 (m2 = -1, b2 = 1) çizgilerinin kesişme noktasını bulacaktır. Kesişme noktası {x: 0.5, y: 0.5} olacaktır.

Bu kod, sembolik çözümleme kullanarak iki çizginin kesişme noktasını bulur. 'solve' fonksiyonu, verilen denklemleri çözer ve kesişme noktasını (x, y) şeklinde bir sözlük olarak döndürür.

0 Comments


Recommended Comments

There are no comments to display.

Guest
Add a comment...

×   Pasted as rich text.   Restore formatting

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

×
×
  • Create New...